Аксиомы принадлежности.

Аксиомы принадлежности.

Обозначим множество точек через М, множество прямых через L, а множество плоскостей через P. На декартовых произведениях и введем бинарные отношения и , которые будем называть отношениями принадлежности. Если точка А и прямая l находятся в отношении , т.е. пара (А, l) Î , то будем говорить, что точка А принадлежит или лежит на прямой l, или, что то же самое, прямая l проходит через точку А или ее содержит. Аналогично, если А – точка, а p - плоскость и , то будем использовать следующую терминологию: точка принадлежит плоскости, точка лежит на плоскости, плоскость содержит точку или плоскости проходит через эту точку. В случае, когда прямая l и плоскость p находятся в отношении , т.е. , то будем говорить: прямая лежит, принадлежит или содержится в плоскости, а плоскость содержит или проходит через эту прямую. Точки, прямые и плоскости должны удовлетворять следующим аксиомам.

. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая а, проходящая через эти две точки.

. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой а, проходящей через эти две точки.

. На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки. Существует, по крайней мере, три точки, не принадлежащие одной прямой.

. Каковы бы ни были три точки А.В и С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость a, проходящая через эти три точки. На каждой плоскости лежит, по крайней мере, одна точка.

. Каковы бы ни были три точки, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей эти точки.

. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости a, то любая точка, принадлежащая прямой а, принадлежит плоскости a.

. Если две плоскости a и b имеют общую точку А, то существует, по крайней мере, еще одна В, принадлежащая этим плоскостям.

. Существует, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

1⁰. Две прямые имеют не более одной точки.

2⁰. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую.

3⁰. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна и только одна плоскость.

4⁰. Через две пересекающиеся прямые проходит одна и только одна плоскость.

5⁰. На каждой плоскости существует три точки, не лежащие на одной прямой.

Заметим, что из аксиом первой группы не следует, что множество основных элементов, точек, прямых и плоскостей, бесконечно. Рассмотрим модель, доказывающую это утверждение. Пусть дано множество, состоящее из четырех элементов: A, B, С и D. Для наглядности расположим их в вершинах тетраэдра (рис. 5). Под точками будем пони мать элементы A, B, С и D (вершины тетраэдра), под прямыми – неупорядоченные пары элементов AB, AC, AD, BC, BD и CD (ребра тетраэдра), а под плоскостями - неупорядоченные тройки этих элементов ABC, ABD, ACD и BCD (грани тетраэдра). Точка принадлежит прямой или плоскости, если она входит в соответствующую пару или тройку точек, а прямая принадлежит плоскости, если она как пара точек входит в тройку точек, определяющую плоскость. Выполнение требований аксиом проверяется достаточно просто. Например, рассмотрим требование аксиомы . Очевидно, оно выполняется, так как в тетраэдре если две грани имеют общую вершину, то они пересекаются по ребру, т.е. имеют еще одну общую вершину. Выполнение остальных аксиом проверьте самостоятельно.