В. В. Аннинская

Задача

По трем населенным пунктам имеются следующие данные:

Населенные пункты	Число жителей всего, тыс. чел.	% лиц, старше 18 лет	% лиц, старше 18 лет, занятых в общественном производстве
a	b	c

Определить среднее значение каждого признака.

Решение.

1)

Используем формулу средней арифметической простой:

тыс. чел.

2)

Используем формулу средней арифметической взвешенной:

тыс. чел.

3)

Используем формулу средней арифметической взвешенной:

тыс. чел.

Ответ: г) 81,7; 60,1; 75,5.

Задача

В отчетном году по городу розничный товарооборот увеличился на 9%. Прирост товарооборота за счет роста объема продаж составил 3%. Определить, на сколько процентов увеличился розничный товарооборот за счет роста цен.

Решение.

По условию,

- индекс розничного товарооборота;

- индекс физического объема товарооборота.

Требуется определить индекс цен .

Используем взаимосвязь индексов:

.

Находим

или 105,8%,

то есть в отчетном году за счет роста цен розничный товарооборот увеличился на 5,8% (105,8 – 100).

Ответ: в) 5,8%.

Задача

Количество пряжи, выработанной поддельным цехом фабрики, увеличилось по сравнению с прошлым годом в полтора раза, а количество пряжи, вырабатывавшейся за 1 чел/час, возросло на 10%. Определить, как изменилось общее число отработанных чел/часов.

Решение.

Общее количество выработанной пряжи равно произведению количества пряжи, выработанной за один человеко-час , на общее число отработанных человеко-часов :

.

Следовательно, между соответствующими им индексами существует аналогичная взаимосвязь:

.

По условию,

;

.

или 136,4%,

то есть общее число отработанных человеко-часов увеличилось в 1,36 раза.

Ответ: г) увеличилось в 1,36 раза.

 

Задача

Доля бракованной продукции в 1 партии изделий составила 1%, во 2 партии - 1,5%, а в третьей - 2%. Первая партия составляет 35% всей продукции, вторая - 40%. Определить средний процент бракованной продукции.

Решение.

По данным задачи составим таблицу.

№ партии	Доля бракованной продукции, %	Удельный вес каждой партии в общем объеме продукции
	1,5	0,35 0,40 0,25
Итого	-

Средний процент бракованной продукции определим по формуле средней арифметической взвешенной:

.

Ответ: б) 1,45%.

Задача

редний возраст жителей одного из регионов 30 лет. При этом сред­ний возраст сельских жителей, которые составляют 60% всех жителей, 32 года при 7 лет, а городских жителей 27 пет при 8 лет. Опре­делите общую дисперсию возраста жителей региона.

Решение.

По условию,

лет – средний возраст жителей одного из регионов;

года – средний возраст сельских жителей;

- удельный вес сельских жителей в общем числе жителей региона;

лет – среднее квадратическое отклонение (для сельских жителей);

лет – средний возраст городских жителей;

лет – среднее квадратическое отклонение (для городских жителей).

Найдем удельный вес городских жителей в общем числе жителей региона:

.

Вычислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

,

где - средняя из внутригрупповых дисперсий;

;

- дисперсия групповых средних;

.

Отсюда, общая дисперсия будет:

.

Ответ: б) 61,0.

 

Задача

При анализе себестоимости единицы продукции получили =25 руб.;
2 = 640. Определите коэффициент вариации себестоимости.

Решение.

По условию,

=25 руб. – средняя себестоимость единицы продукции;

2 = 640 – средняя из квадратов индивидуальных значений.

Требуется определить коэффициент вариации себестоимости.

.

Среднее квадратическое отклонение:

.

.

Ответ: а)16%.

Задача

Имеются следующие данные по трем предприятиям отрасли за 2 периода:

предприятия	Базисный период	Отчетный период
Объем произведенной продукции, тыс. руб.	Фондоотдача основных фондов, руб.	Стоимость основных фондов, тыс. руб.	Фондоотдача основных фондов, руб.
		90,0		95,0
		80,5		75,0
		75,4		80,0

Определить фондоотдачу в среднем по предприятиям в базисном и отчетном периоде.

Решение.

Фондоотдача рассчитывается по формуле:

,

где - объем произведенной в данном периоде продукции;

- стоимость основных производственных фондов.

1) Для вычисления среднего уровня фондоотдачи в базисном периоде используем формулу средней гармонической взвешенной:

руб.

2) Для вычисления среднего уровня фондоотдачи в отчетном периоде используем формулу средней арифметической взвешенной:

руб.

Ответ: в) 82,19; 84,00.

Задача

По трем предприятиям отрасли имеются следующие данные;

Предприятие	Выпуск продукции, тыс. руб.	Производительность труда 1 рабочего, тыс. руб.	Энерговооруженность 1 рабочего, тыс. кВт/час
a	b	c
		6,0 2,4 8,6	10,4 5,8 12,2

Определить среднее значение каждого признака.

Решение.

1)

Используем формулу средней арифметической простой:

тыс. руб.

2)

Используем формулу средней гармонической взвешенной:

тыс. руб.

3)

(тыс. кВт/ч)

Ответ: б) 1573,3; 4,7; 8,5.

Задача

Методом собственно случайной бесповторной выборки обследовано 100 ящиков деталей. По данным выборки средней процент бракованных деталей оказался равным 3,64%, а среднее квадратическое отклонение 1,6%. Определить, с вероятностью равной 0,954 (t = 2), предельные значения генеральной средней.

Решение.

По условию,

- число обследованных ящиков деталей;

- средний процент бракованных деталей в выборке;

– выборочное среднее квадратическое отклонение;

- коэффициент кратности ошибки (так как вероятность ).

Доверительный интервал:

.

- предельная ошибка выборки.

;

.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний процент бракованных деталей в генеральной совокупности, находится в пределах от 3,32% до 3,96%.

Ответ: г) 3,64 ± 0,32.

Задача

С помощью случайной выборки требуется определить процент сту­дентов, проживающих в общежитии с точностью до 3% и с вероятностью 0,683 (t=1). Сколько студентов необходимо обследовать для получения необходимого результата из общего числа студентов 800 человек.

Решение.

Для бесповторного отбора численность выборки (при определении доли альтернативного признака) находится по формуле:

.

По условию,

(чел.) – общее число студентов;

- предельная ошибка выборки;

- коэффициент кратности ошибки (так как вероятность ).

Так как не известно, то полагаем

.

(чел.).

Ответ: б) 206 чел.

Задача

На экономическом факультете выборочным методом (отбор повторный) был определен средний возраст студента. Оказалось, что он равен 21,5 года при среднем квадратическом отклонении 4 года. Сколько надо обследовать студентов, чтобы ошибка при определении среднего возраста не превысила 1 год с вероятностью 0,997 (t=3).

Решение.

(года) – средний возраст студента в выборочной совокупности;

(года) – выборочное среднее квадратическое отклонение;

- коэффициент кратности ошибки (так как вероятность );

(год) – предельная ошибка при определении среднего возраста.

Для повторного отбора численность выборки (при определении среднего размера ошибки признака) находится по формуле:

;

(чел.).

Ответ: а) 144 чел.

Задача

Выборочный хронометраж работы 2% рабочих, изготовляющих одинаковые детали, показал, что по затратам времени на изготовление одной детали рабочие распределились следующим образом:

Затраты времени на изготовление 1 детали (мин)	20-24	24-28	26-32	32-36	Итого
Число изготовленных деталей

Определите средние затраты времени на изготовление одной детали в выборке и определенную ошибку этой средней с вероятностью 0,997 (t=3).

Решение.

Определим выборочную среднюю:

мин.,

то есть средние затраты времени на изготовление одной детали в выборке составляют 28 мин.

По условию, вероятность , следовательно, коэффициент кратности ошибки .

Предельная ошибка выборки:

.

Средняя ошибка выборки для бесповторного отбора:

.

- численность выборочной совокупности;

- численность генеральной совокупности.

Определим выборочное среднее квадратическое отклонение:

(мин.).

(мин.).

Доверительный интервал:

;

;

(мин.).

Ответ: б) 28 мин 1,35 мин.

Задача

На 100 предприятиях, выборочно отобранных в порядке механическо­го отбора, обследованы потери рабочего времени. Было установлено, что потери рабочего времени в среднем на 1 работающего составляют 120 часов, при среднем квадратическом отклонении равном 17,5 часа.

Определить, с вероятностью 0,954 (t= 2), пределы средних потерь ра­бочего времени на 1 работающего в год по всем предприятиям.

Решение.

По условию,

- численность выборочной совокупности;

(часов) - выборочная средняя, то есть потери рабочего времени в среднем на одного работающего в выборочной совокупности;

(часов) – выборочное среднее квадратическое отклонение;

- коэффициент кратности ошибки (так как вероятность ).

Доверительный интервал:

.

- предельная ошибка выборки.

Средняя ошибка выборки для повторного отбора (так как неизвестна численность генеральной совокупности) равна:

;

(часов).

Следовательно,

;

(часов).

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средние потери рабочего времени на одного работающего в год по всем предприятиям, находятся в пределах от 116,5 до 123,5 часов.

Ответ: в) в пределах от 116,5 до 123,5 час.

Задача

В результате выборочного обследования установили, что доля рабо­чих, выполняющих норму выработки на 110 и более процентов, состав­ляет 40%, а предельная ошибка выборки равна 0,15. Определите, с ве­роятностью 0,683 (t = 1), в каких пределах находится доля рабочих, выполняющих норму выработки на 110 и более процентов, в генеральной совокупности.

Решение.

По условию,

(балла) – предельная ошибка выборки;

- доля рабочих в выборочной совокупности, выполняющих норму выработки на 110 и более процентов.

Доверительный интервал:

;

;

.

Ответ: а) в пределах от 25 до 55%.

Задача

Абсолютная предельная ошибка выборки при определении среднего балла, полученного студентами на экзамене по Общей теории статисти­ки, равна 0,15 балла, что составляет 4% к средней. Определить, с веро­ятностью 0 954 (t = 2), в каких пределах находится средний балл в гене­ральной совокупности.

Решение.

По условию,

(балла) – абсолютная предельная ошибка выборки при определении среднего балла;

- выборочная средняя, то есть средний балл в выборочной совокупности.

Доверительный интервал:

;

;

.

Ответ: а) в пределах от 3,6 балла до 3,9 балла.

Задача

Удельный вес семей, имеющих 3 и более детей, по переписи населе­ния
1989 г. составил 16,8%. Определите долю семей, имеющих 3 и более детей, в 1999 г., если известно, что численность семей за этот период увеличилась в 1,3 раза, численность семей с 3 и более детьми уменьшилась на 21%.

Решение.

По условию,

- удельный вес семей, имеющих 3 и более детей;

- индекс изменения численности семей;

- индекс изменения численности семей с 3 и более детей..

Из формулы

находим

или 10,21%.

Следовательно, доля семей, имеющих 3 и более детей, в 1999 году составила 10,21%.

Ответ: а) 10,21%.

Задача

Выпуск цемента на заводе планировали увеличить на 20%, план выполнен на 95%. Определите фактическое увеличение выпуска цемента по сравнению с прошлым годом.

Решение.

Используем формулу:

.

где - индекс выполнения плана;

- индекс планового задания.

Найдем индекс динамики:

или 114%,

то есть фактическое увеличение выпуска цемента по сравнению с прошлым годом составило 14% (114 – 100).

Ответ: г) увеличился на 14%.

Задача

Удельный вес оборотных средств, вложенных в запас сырья, составил на предприятии в 1999 г. 25%. Определить удельный вес оборотных средств, вложенных в запасы сырья в 1998 г.,если известно, что за этот период оборотные средства на предприятии увеличились на 140%, а оборотные средства, вложенные в запасы сырья — 1,9 раз.

Решение.

По условию,

- удельный вес оборотных средств, вложенных в запас сырья в 1999 г.;

- индекс изменения оборотных средств;

- индекс доли оборотных средств, вложенных в запасы сырья.

Из формулы

находим

или 31,6%.

Следовательно, удельный вес оборотных средств, вложенных в запасы сырья в 1998 году, составил 31,6%.

Ответ: а) 31,6%.

Задача

Предусматривалось по плану увеличить ввод в строй жилья на 1,3%, фактически ввели на 0,8% больше, чем в предыдущем году. Определить относительную величину выполнения плана по вводу в строй жилья.

Решение.

Относительная величина выполнения плана рассчитывается как отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному:

,

то есть план по вводу в строй жилья недовыполнен на 0,5% (99,5 – 100).

Ответ: в) план недовыполнен на 0,5%.

Задача

Удельный вес безработных в общей численности трудоспособного населения области составил в 1994г. – 1%, а в 1999 г. - 6,7%. Определите численность безработных в 1999 г., если известно, что численность трудоспособного населения области уменьшилась за этот период в
1, 01 раза, а число безработных в 1994 г. составило 200 человек.

Решение.

По условию,

, - доля безработных в общей численности трудоспособного населения в 1994 и 1999 гг. соответственно;

- индекс изменения численности трудоспособного населения.

Так как и ,

где - численность безработных в 1994 и 1999 гг. соответственно;

- численность трудоспособного населения в 1994 и 1999 гг. соответственно;

то ;

;

(чел.).

Итак, численность безработных в 1999 г. составила в среднем 1327 человек.

Ответ: г) 1327 человек.

Задача

Планировалось снизить трудоемкость изготовления продукции «А» на 3,6%, фактически она была снижена на 5%. Определите выполнение плана по снижению трудоемкости.

Решение.

Относительная величина выполнения плана представляет собой отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному:

,

то есть план по снижению трудоемкости перевыполнен на 1,4% (101,4 – 100).

Ответ: г) план перевыполнили на 1,40%.

Задача

Динамика численности населения (тыс. чел.) города за 1993-1997 гг. может быть описана уравнением тренда у = 60 - 0,1t. Экстраполируя эту тенденцию развития, определите численность населения в 2000 г.

Решение.

Годы	Условные обозначения времени
	-2 -1

При :

- тыс. чел. – численность населения в 1997 году.

Предположив, что данный ряд динамики имеет постоянные абсолютные приросты , применим формулу:

,

где - экстраполируемый уровень;

- конечный уровень базисного ряда динамики;

- срок прогноза (период упреждения).

Здесь (тыс. чел.);

(тыс. чел.); (года).

Следовательно, численность населения в 2000 г. составит:

тыс. чел.

Ответ: 59,5 тыс. чел. (ни один из предложенных вариантов не подходит).

Задача

Имеются следующие данные о выпуске продукции фирмы за 2 смеж­ных квартала:

Кварталы	Общий объем выпущенной продукции (млн. руб.)	Коэффициент товарности произведенной продукции (%)	Доля реализованной продукции
q	k	d

Определить изменение объема реализации во 2 квартале по сравне­нию
с 1 кварталом (в абсолютном выражении) за счет: а) изменения общего объема выпущенной продукции; б) изменений коэффициента товарности; в) изменения доли реализованной продукции.

Решение.

Факторная индексная модель:

.

(млн. руб.);

(млн. руб.);

; ; .

Абсолютное изменение объема реализации во 2 квартале по сравнению с 1-ым (млн. руб.):

,

в том числе за счет:

а) изменения общего объема выпущенной продукции:

;

б) изменения коэффициента товарности:

;

в) изменения доли реализованной продукции:

.

Проверка:

,

5,1 – 1,8 + 1,92 = 5,22 (млн. руб.).

Ответ: г) а =+5,1, б =-1,8, в = +1,92.

Задача

Определить изменение чистой продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным (в абсолютном выражении) за счет отдельных факторов, если известно, что в базисном году объем чистой продукции составлял 400 млн. руб., а в отчетном году вырос до 455; при увеличе­нии фонда отработанного времени (а) на 8%, и росте производительно­сти труда (б) в 1,2 раза, изменением доли чистой продукции в валовой продукте отрасли (в).

Решение.

По условию,

млн. руб. – объем чистой продукции в базисном году;

млн. руб. – объем чистой продукции в отчетном году;

- индекс фонда отработанного времени;

- индекс производительности труда.

Факторная индексная модель:

.

или 87,8%,

то есть доля чистой продукции в валовом продукте отрасли сократилась в отчетном году по сравнению с базисным на 12,2%.

Общий прирост объема чистой продукции в абсолютном выражении (млн. руб.):

,

в том числе:

а) за счет увеличения фонда отработанного времени:

;

б) за счет роста производительности труда:

;

в) за счет сокращения доли чистой продукции в валовом продукте отрасли:

.

Проверка:

;

32 + 86 – 63 = 55 (млн. руб.).

Ответ: б) а = +32; б = +86; в = -63.

Задача

Имеются следующие данные о работе авторемонтных мастерских за 2 года работы:

Группы ремонтируемых частей	Выполнено ремонтов, тыс. штук	Время одного ремонта, час	Оплата за один час работы, руб.
отчетный	базисный	отчетный	базисный	отчетный	базисный
Моторы
Корпуса

Определить прирост расходов на заработную плату за выполнение ремонтов (в абсолютном выражении) за счет: а) изменения количества выполненных ремонтов; б) изменения затрат рабочего времени на про­изводство одного ремонта; в) изменения часовой заработной платы.

Решение.

Факторная индексная модель:

,

то есть изменение расходов на заработную плату зависит от изменения количества выполненных ремонтов (индекс ), времени одного ремонта (индекс ) и часовой заработной платы (индекс ).

; ; ; ; .

Общий прирост расходов на заработную плату за выполнение ремонтов в отчетном периоде по сравнению с базисным составил (тыс. руб.):

.

В том числе за счет:

а) увеличения количества выполненных ремонтов:

б) увеличения затрат рабочего времени на производство одного ремонта:

в) повышения часовой заработной платы:

.

Проверка:

,

39,5 + 70 + 30 = 139,5 (тыс. руб.).

Ответ: в) а = +39,5; б = +70,0, в = +30,0.

Задача

Развитие экономики области за 2 смежных года характеризуется следующими данными (млрд. руб.):

Период	Валовой выпуск продуктов и услуг (ВВ)	Валовой внутрен-ний продукт (ВВП)	Валовой националь-ный продукт (ВНП)	Использован-ный национальный продукт (ИНД)	Доходы бюдже-та (ДБ)
Базис-ный	50,0	35,0	42,0	12,6	6,3
Отчет-ный	75,0	45,0	58,5	23,4	11,7

Определите абсолютный прирост доходов бюджета за счет а) изменения объема валового выпуска продуктов и услуг, б) изменения доля валового внутреннего продукта в валовом выпуске продуктов и услуг; в) изменения соотношения валового национального продукта и валового внутреннего продукта; г) изменения доли использованного нацио­нального дохода в валовом национальном продукте; д) изменения доли доходов областного бюджета в использованном национальном доходе.

Решение.

Факторная индексная модель:

.

Здесь

(млрд. руб.) – доходы бюджета в отчетном периоде;

(млрд. руб.) – доходы бюджета в базисном периоде;

;

: : ;

: : ;

: : ;

: : .

Общий прирост доходов бюджета составляет (млрд. руб.):

,

в том числе:

а) за счет изменения объема валового выпуска продуктов и услуг:

;

б) за счет изменения доли валового внутреннего продукта в валовом выпуске продуктов и услуг:

;

в) за счет изменения соотношения валового национального продукта и валового внутреннего продукта:

;

г) за счет изменения доли использованного национального дохода в валовом национальном продукте:

д) за счет изменения доли доходов областного бюджета в использованном национальном доходе:

.

Проверка:

3,15 – 1,35 + 0,67 + 2,93 + 0 = 5,4 (млрд. руб.).

Ответ: г) а = +3,15; б = -1,35; в = +0,67; г = +2,93; д = 0.

Задача

Среднечасовая выработка (а) увеличилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 16%, средняя фактическая продолжительность рабочего дня (б) сократилась на 2%, число дней отработанных одним рабочим в году (в) увеличилось на 1%, а число рабочих сократилось на 10%. Определить, как изменился объем произведенной продукции (в млн. руб.) в результате действия каждого из этих факторов в отдельности, если известно, что в отчетном периоде произвели продукции на 100 млн. руб.

Решение.

По условию,

- индекс изменения среднечасовой выработки;

- индекс изменения средней фактической продолжительности рабочего дня;

- индекс изменения числа дней, отработанных одним рабочим в году;

- индекс изменения численности рабочих.

млн. руб. – объем произведенной продукции в отчетном периоде.

Факторная индексная модель:

.

Так как , то млн. руб.

Абсолютный прирост объема продукции в целом (млн. руб.):

,

в том числе:

- за счет сокращения числа рабочих:

(пункт г);

- за счет сокращения средней фактической продолжительности рабочего дня:

(пункт б);

- за счет увеличения числа дней, отработанных одним рабочим в году:

(пункт в);

- за счет роста среднечасовой выработки:

(пункт а).

Проверка:

;

-10 – 2 + 1 + 14 = 3 (млн. руб.).

Ответ: в) а = +14; б = -2; в = +1; г = -10.

Задача

За 2 года производительность общественного труда (а) повысилась на 8%, доля материальных затрат (б) в валовом внутреннем продукте были а базисном периоде 52%, а в отчетном 49%. Фонд отработанного времени (в) за эти годы увеличился в 1,02 раза. Валовой национальный продукт составил в отчетном периоде 200 млн. руб. Определить прирост ВНП
(в млн. руб.) за счет каждого фактора в отдельности.

Решение.

По условию,

- индекс производительности общественного труда;

- доля материальных затрат в валовом внутреннем продукте (ВВП) в базисном периоде;

- доля материальных затрат в валовом внутреннем продукте в отчетном периоде;

- индекс изменения фонда отработанного времени;

млн. руб. – валовой национальный продукт в отчетном периоде.

Факторная индексная модель:

,

где , - валовой национальный продукт отчетного и базисного периодов соответственно;

- индекс изменения доли чистой продукции в ВВП.

;