Обратная матрица. Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .
Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если
Определение 3.8. Квадратная матрица В называется обратной к квадратной матрице А того же порядка, если АВ = ВА = Е. При этом В обозначается Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.
Теорема 3.2. Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной.
Доказательство. 1) Необходимость: так как 2) Достаточность: зададим матрицу
Тогда любой элемент произведения
Замечание. Сформулируем еще раз способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель. Пример. Найдем матрицу, обратную к
Тот же результат получим и при перемножении в обратном порядке.
|
, и невырожденной, если 
.
.
то 
(теорема 3.1), поэтому 
.
(или 
), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны 
Таким образом,
. Теорема доказана.
следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:
Не забудем, что алгебраические дополнения к элементам строки матрицы А образуют в обратной матрице столбец с тем же номером. Итак, 
Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению 
Найдем
