Парная регрессия и корреляция

По северо-западному федеральному округу известны данные за 2001 г.

	СРЕДНЕДУШЕВЫЕ ДЕНЕЖНЫЕ ДОХОДЫ НАСЕЛЕНИЯ, руб.	СРЕДНЕДУШЕВЫЕ ДЕНЕЖНЫЕ РАСХОДЫ НАСЕЛЕНИЯ, руб.
Карелия
Коми
Архангельская
Вологодская
Калининградская
Ленинградская
Мурманская
Новгородская
Псковская
Санкт-Петербург

 

Задание:

1. Провести эконометрический анализ данных о среднедушевых денежных доходах и расходах населения регионов РФ.

2. Построить гистограмму, сделать содержательные выводы.

3. Построить диаграмму рассеивания, определить коэффициент корреляции между Х и Y, сделать вывод.

4. Вынести на диаграмму уравнение и значение коэффициента детерминации.

5. Определить параметры линейной регрессионной модели. Записать уравнение регрессии.

6. Проверить адекватность модели и провести интерпретацию уравнения регрессии.

7. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом

8. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнения

9. Определить предсказанное значение Y, вычислить остатки. Построить график остатков, интерпретировать полученный результат.

 

Решение:

Наибольшие среднедушевые доходы у населения Мурманской области, наименьшие - в Псковской. Наибольшие среднедушевые расходы в Санкт-Петербурге, наименьшие - в Псковской области. В Калининградской области и в Санкт-Петербурге среднедушевые денежные расходы превышают доходы, что может свидетельствовать о существовании теневых доходов населения.

 

Рис.1 – Среднедушевые денежные доходы и среднедушевые расходы населения СЗФО, руб.

Диаграмма рассеивания представлена на рис.2 (ромбы).

Визуально - линейная зависимость между переменными существует.

Нулевая гипотеза, Н0: изменение среднедушевых доходов не влияет на среднедушевые расходы населения,т.е.коэффициент регрессии равен 0.

Альтернативная гипотеза, Н1: изменение среднедушевых доходов влияет на среднедушевые расходы населения, т.е.коэффициент регрессии не равен 0.

 

Уравнение регрессии строится с помощью опции "Добавить линию тренда", возникающей при выделении точек на диаграмме и нажатии правой кнопки. Уравнение для оценки регрессионной модели имеет вид: Y=312.65+0.79*Х. Величина коэффициента регрессии b=0,79 означает, что При приросте среднедушевых денежных доходов населения на 100 рублей можно ожидать возрастания среднедушевых расходов на 79 рублей. Коэффициент корреляции между Х и Y r = 0.95, что свидетельствует о наличии линейной зависимости между Х и Y.

 

 

Рис. 2 – Регрессионная зависимость между доходами и расходами населения

Рассчитаем параметры a и b и сравним полученные результаты с уравнением тренда на графике. Параметры рассчитываются в результате решения системы нормальных уравнений относительно a и b.

	Х	Y	X*Y	X2	Yтеор		(Y - Yтеор)2
Карелия			6669775,88		2600,59	0,12	88559,06
Коми			14406611,6		3545,03	0,01	577,62
Архангельская			6520896,25		2490,88	0,05	15845,15
Вологодская					2264,44	0,01	1052,60
Калининградская			4409428,38		1895,32	0,12	93442,56
Ленинградская			3158518,5		1753,31	0,01	454,28
Мурманская			14973190,4		3670,25	0,06	21682,19
Новгородская					2155,13	0,01	735,90
Псковская					1644,49	0,01	419,89
Санкт-Петербург			14043943,8		3251,65	0,21	273897,84
Итого
Средняя
СКО	930,08	775,47
Дисперсия	865051,2	601346,3
Δ=	77854604,2
Δа=		а=	312,65
Δb=		b=	0,79

Для оценки тесноты связи рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

= 0,79*(930,08/775,47) = 0,95 что означает достаточно тесную связь между рассматриваемыми признаками.

r ²_YX = 0,95² = 0,9086

Коэффициент детерминации, равный 0,9086, устанавливает, что вариация потребительских расходов на душу населения на 90,86% из 100% предопределена вариацией средней заработной платы и выплат социального характера; роль прочих факторов, влияющих на потребительские расходы на душу населения, определяется в 9,14%, что является значительной величиной.

Относительную оценку силы связи даёт общий (средний) коэффициент эластичности:

Для линейной регрессии формула принимает вид:

= 0,79*(2803/2540) = 0,877

Это означает, что при изменении средней заработной платы и выплат социального характера на 1% от своей средней потребительские расходы на душу населения увеличивается на 0,877% от своей средней.

Определим теоретические значения результата Y_теор. Для этого в полученное уравнение последовательно подставим фактические значения фактора X.

Оценку качества модели дадим с помощью скорректированной средней ошибки аппроксимации ε'ср:

= (1/10*1)*100% = 10%

Значение величины скорректированной средней ошибки аппроксимации свидетельствует о не высоком качестве построенной линейной модели, но оно не ограничивает ее использование для выполнения точных прогнозных расчетов.

Рис. 3 – График остатков.

Остатки гомоскедастичны, автокорреляции нет.

 

 

Критерий Фишера F = 79.5, значимость критерия Фишера 0.00001983<0.05, следовательно,

в результате F-теста мы должны отклонить нулевую гипотезу и признать справедливость альтернативной

гипотезы.

 

Р-значение=0.0000198<0.05, следовательно при уровне значимости, равном 0.05 нулевая гипотеза

может быть отвергнута. Справедлива гипотеза о регрессионной зависимости между переменными.

Доверительный интервал: 0.59<b<1.00