Описание проекционных методов

 

Общая идея заключается в предварительной «аппроксимации» уравнения и последующем точном решении «аппроксимирующего» уравнения. Аппроксимирующее уравнение конструируется так, что его решение сводится к рассмотрению конечной системы скалярных уравнений.

Пусть E и F – банаховы пространства (комплексные или вещественные). Рассмотрим уравнение

, (1)

где L – линейный (вообще говоря, неограниченный) оператор с областью определения и областью значений . Проекционный метод решения этого уравнения заключается в следующем. Задаются две последовательности подпространств и ;

а также линейные проекционные операторы (проекторы) , проектирующие F на , т.е. операторы, удовлетворяющие условиям

Уравнение (1) заменяется приближенным

(2)

решение ищется в .

В случае проекционный метод (2) называют методом Галеркина.

 

Пусть пространства E и F гильбертовы. Задаются две полные последовательности и ,

(это так называемые координатные последовательности). Приближенное решение ищется в виде линейной комбинации

(3)

и определяется из условия ортогональности невязки первым n элементам второй координатной последовательности:

Это приводит к линейной системе уравнений для отыскания коэффициентов :

(3’)

Видно, что условия (3), (3’) равносильны условиям (2), в которых - линейные оболочки элементов и соответственно, а - оператор ортогонального проектирования на подпространство (ортопроектор). Ортогональность проектирования и является наиболее существенным требованием. Описанный метод называют методом Галеркина – Петрова. В методе Галеркина – Петрова подпространства конечномерны и

Иногда под методом Галеркина – Петрова понимают проекционный метод (2) с ортопроекторами и в том случае, когда соответствующие подпространства бесконечномерны и когда нет указанных вложений.

При приближенном решении методом Галеркина – Петрова конкретных уравнений координатные последовательности и можно выбирать различными способами. Например, часто элементы выбирают по элементам при помощи равенств

В этом случае говорят о методе наименьших квадратов.

Если гильбертовы пространства E и F совпадают и если обе координатные последовательности одинаковы , то метод Галеркина – Петрова принято называть методом Бубнова – Галеркина.

 

Рассмотрим уравнение

, (4)

где T – линейный непрерывный оператор в банаховом пространстве E. Пусть - последовательность замкнутых подпространств E. В качестве приближенных решений уравнения (4) принимаются решения уравнений

(5)

где - линейный непрерывный оператор в , .

Характеристикой близости уравнений (4) и (5) не может служить разность операторов T и , т.к. эти операторы действуют в различных пространствах. Пусть - проектор (вообще говоря, неограниченный), проектирующий в подпространство :

для , для .

Пусть - ограниченный в E (а значит, и в ) оператор. Каждый из операторов T и можно сравнивать с , рассматривая его соответственно как оператор в E или в . Т.о. характеристиками близости уравнений (4) и (5) естественно брать норму оператора в и норму оператора в E, а также нормы и . Другими словами, каждое из уравнений (4) и (5) сравнивается с галеркинским уравнением

(6)

Последнее уравнение, в отличие от уравнений (4) и (5), может рассматриваться как в пространстве E, так и в подпространстве .

Уравнение (5) иногда удобнее записывать в форме

(7)

где и характеризуют отклонение уравнения (5) от галеркинского уравнения (6). Рассматриваются случаи, когда эти отклонения малы (). Соответствующие приближенные методы объединяют под названием метод Галеркина с возмущениями (например, метод механических квадратур).