Эффекты дисперсии высших порядков

1. Третье и высшие приближения теории

2. Фурье-оптика волновых пакетов

3. Распространение фазово-модулированных импульсов. Понятие о аберрации

1.

В тех случаях, когда параметр →0, т.е. система находится в точке нулевой дисперсии, тогда необходимо изучать высшие порядки разложения постоянной распространения в ряд (по частоте пробного поля), т.е. речь идет о параметре и др. Постоянная распространения представляется в форме следующего разложения:

β(ω) = + (ω – ) + + + …,

где – центральная частота волнового пакета

=

Будем рассматривать уравнение распространения в предположении того, что все иные эффекты отсутствуют, а остаются лишь те, которые связаны с проявлением дисперсии в системе. Уравнение будет иметь вид:

( – )A (t, z) = 0

Решение данного уравнения:

A (t, z) = , где

– ядро интеграла, выраженное функцией Грина, которая имеет вид

= (-i [ z z (

Нахождение A (t, z) может быть осуществлено приближенно.

В общем случае уравнение решается численными методами и его решение можно представить качественно, основываясь на двух параметрах:

,

 

а б

в г

а – гауссовский импульс на входе

б – ,

в – ,

г – ,

Отсюда следует, что кубическая дисперсия ведет к качественному новому поведению системы. Если работает только дисперсия второго порядка (б), в системе наблюдается обычное симметричное уширение импульса. Если действует дисперсия только третьего порядка, всё зависит от ее знака. Если , происходит глубокая модуляция хвоста импульса, фронт остается гладким. Если , наоборот, модулируется фронт, импульс в среде становится асимметричным, его центр тяжести смещается (в). Наложение дисперсии второго и третьего порядка друг на друга приводит к одновременному уширению и модуляции фронтов импульса (г).

Определим фурье-спектр интенсивности как:

Н(х) = exp (-i – – )

Тогда можно ввести понятие функции интенсивности импульса в диспергирующей среде следующей формулой:

I (t, z) = = dx.

С помощью данной интенсивности можно ввести среднюю квадратичную длительность =

После преобразования

= , где – входная длительность импульса

= , где

=

В общем виде длительность среднеквадратичного импульса:

=

=

– дисперсионная длина второго порядка

В дальней зоне

τ ≈

Можно ввести минимальную среднеквадратичную длительность

Учет эффектов высшего порядка только уточняет картину, полученную во втором и третьем приближении. При распространении в таких сложных условиях исходят из теоремы площадей: в среде без потерь (𝛼 = 0) независимо от проявляемых дисперсионных нелинейных эффектов, площадь под огибающей импульса должна оставаться постоянной величиной.

2.

Фурье-оптика основывается на теории дифракции Фраунгофера: спектр поля в дальней зоне определяется преобразованием Фурье от распределения комплексной амплитуды на входе. Аббе было предложено влиять на изображение с помощью изменения амплитуд и фаз спектральных компонент в фокальной плоскости. Классические примеры этой техники – метод темного поля и метод фазового контраста.

На аналогичных преобразованиях световых импульсов, происходящих в диспергирующих средах, основана фурье-оптика волновых пакетов. Здесь особый интерес представляют новые методы преобразования коротких импульсов в искусственных диспергирующих средах. Сильно диспергирующие системы, представляющие собой комбинации дифракционных решеток и призм, позволяют развернуть частотный фурье-спектр в пространстве и управлять амплитудами и фазами компонент частотного спектра – совершенно аналогично тому, как это делал Аббе с фурье-компонентами углового спектра.