Контрольная работа по математике

По теме: «Теория вероятностей».

Настоящая работа посвящена использованию таких элементов теории вероятностей, как формула вероятности события, основные теоремы (сложения и умножения вероятностей), условная вероятность, формула полной вероятности, а также числовые характеристики дискретных случайных величин.

Работа состоит из 3-х заданий и рассчитана на два академических часа.

Ниже предлагается три стандартных варианта контрольной работы.

 

Вариант № 1

Задание № 1. В конверте 9 фотокарточек. Среди них 5 нужных. Наугад извлечены 4 карточки. Найти вероятность того, что среди них только 2 нужные.

Введем в рассмотрение событие А – среди 4 извлеченных карточек только две нужные.

Вероятность этого события вычисляется по формуле вероятности

P(A)= (1)

Где - число всех равновозможных исходов события, а - число исходов, благоприятствующих появлению события А.

Для нахождения и необходимо вспомнить такое понятие из теории соединений, как «Сочетания».

Определение: пусть имеется п элементов. Сочетанием называются наборы (соединения), составленные из этих элементов по m элементов в каждом наборе, которые отличаются хотя бы одним из элементов (0 )

Число всех возможных сочетаний обозначается и вычисляется согласно формулам:

(2), или (3), где в числителе m сомножителей.

m!= (эм-факториал)

n!= ,)n-m)!=1 (n-m)

в частности,

кроме того,

эта формула полезна в случае использования формулы (3), когда < m.

В нашем задании число всех возможных исходов «п» равно числу способов извлечь из 9 карточек 4, т.е.

Число способов извлечь из 5-ти нужных только две нужные есть .

Число способов извлечь из четырех ненужных (9-5) только 2 ненужных (4-2) есть .

Тогда число благоприятствующих исходов есть произведение .

Подставляем и в (1):

 

P(A)= .

для получения точного ответа дробь нужно сократить, после чего

Ответ: .

При решении подобных задач удобно пользоваться таблицей:

	Всего предметов	Стандартные предметы	Нестандартные предметы
было	N	n	N-n
Отобрано	m	к	m-k

Тогда P(A)= (4)

Полезно помнить правило: числа N и m из 1-го столбца составляют индексы в знаменателе дроби (4), а числа из 2-го и 3-го столбцов – в числителе, причем числа из 1-ой строки стоят везде в нижних индексах чисел сочетаний, а числа из 2-ой строки – в верхних.

 

Задание № 2. В урну, содержащую 4 шара, опущено 2 белых шара, после чего из нее на удачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Задание может быть решено с помощью формулы полной вероятности:

P(A)=

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого их этих событий на соответствующую условную вероятность события А.

В нашем задании событие А – извлечен белый шар;

событие (предположение) - первоначально в урне не было белых

шаров;

событие - первоначально в урне был один белый шар;

событие - первоначально в урне было два белых шара;

событие - первоначально в урне было 3 белых шара;

событие - первоначально в урне все 4 шара были белые.

Найдем вначале вероятность Р(В i), i = 1,…,5. Т.к. события В 1, В 2, В 3, В 4, В 5 равновозможны, несовместны и образуют полную группу, то

Р(В 1) = Р(В 2) = Р(В 3)= Р(В 4) = Р(В 5)

Р(В 1) + Р(В 2) + Р(В 3) + Р(В 4) + Р(В 5) = 1

Пусть Р(В i) = Х. Тогда 5х = 1 х = , т.е. Р(В i) = , I = 1,…,5

Для того, чтобы воспользоваться формулой полной вероятности, необходимо найти условия вероятности события А.

 

Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар при наступлении события В 1, есть Р В1(А) = , так как перед извлечением шара число всех шаров урне (число всех исходов) равно 6, а число белых шаров (число благоприятствующих исходов) равно 2. Аналогично Р В2(А) = , Р В3(А) = , Р В4(А) = , Р В5 (А) = .

Согласно формуле полной вероятности

Р(А) = = =

Ответ: Р(А) = 0,67 = 67%.

Задание № 3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

 

Х
Р	0,25	0,5	0,1	0,15

 

Вначале полено проверить условие = 1. (1)

0,25 + 0,5 + 0,1 + 0,15 = 1, то условие (1) выполняется.

Дисперсия случайной величины вычисляется по формуле:
D(Х) = М(Х ) - (М(Х)) , где

М(Х) – математическое ожидание:

М(Х) = .

В нашем случае

М(Х) =

(М(Х)) = (5,9) = 34,81

При нахождении М(Х ) считается, что квадраты значений величины Х

принимаются с теми же вероятностями, что и значения Х, т.е. закон распределения случайной вероятности Х таков:

 

 

Х
Р	0,25	0,5	0,1	0,15

 

М(Х ) =

D(Х) = 36,5 – 34,81 = 1,69

Среднее квадратичное отклонение находится по формуле

Ответ: D(X) = 1.69;

 

Вариант № 2

Задание № 1. В конверте 12 денежных купюр. Среди них 4 фальшивых. Наугад извлечены 4 купюры. Какова вероятность того, что все они фальшивые?

Введем в рассмотрение событие А – все 4 извлеченные купюры фальшивые. Вероятность этого события вычислим по формуле (4) из задания №1.

Предварительно составим таблицу данных:

	Всего купюр	Фальшивые	Нефальшивые
Было
Извлечено

Тогда согласно правилу из задания №1 (вариант №1)

Ответ:

Задание № 2. В лототрон, содержащий 3 лотерейных билета, добавили пять невыигрышных, после чего извлекли произвольным образом один билет. Какова вероятность того, что он выигрышный?

В нашем задании А – извлеченный выигрышный билет.

Решаем задачу, как и в задании №1 (вариант№1), с помощью формулы полной вероятности.

Запишем полную группу несовместных событий (предположений), при наступлении которых появляется событие А:

событие В₁ – первоначально в барабане выигрышных билетов не было;

событие В₂ – первоначально в барабане был один выигрышный билет;

событие В₃ - первоначально в барабане было два выигрышных билета;

событие В₄ – первоначально в барабане все три билета были выигрышные.

Найдем вероятности Р(В _i), i = 1,2…,4, для чего выпишем систему уравнений, аналогичную систему в задании №1:

Пусть Р(В₁) = х. Тогда 4х = 1, откуда т.е. Р(В _i) = , i =1,...,4.

Вычислим условные вероятности события А:

т.к. перед извлечением билета в предположении В₁ число всех билетов(исходов) равно 8, а выигрышных билетов нет. Аналогично:

Согласно формуле полной вероятности:

Ответ:

Нужно заметить, что данный пример можно решить с помощью понятия "противоположные события".

Событие, противоположное событию А, есть - извлеченный шар невыигрышный. Если вероятность Р() найдена, то Р(А) = 1- Р().

 

Задание № 3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х
Р	0,05	0,25	0,4	0,3

Условие выполняется:

0,05+0,25+0,4+0,3 = 1.

Как и в задании № 1 (вариант № 1) в начале найдем математическое ожидание:

Тогда (М(Х))² = 400

 

Закон распределения величины таков Х² таков:

 

Х2
Р	0,05	0,25	0,4	0,3

Теперь дисперсия D(Х) находится по формуле:

а

среднее квадратическое отклонение:

Ответ: D(X) = 60, = .

 

Вариант №3

 

Задание № 1. В пенале 14 карандашей, из них 6 цветных. Наугад извлечены 4

карандаша. Какова вероятность того, что среди нет цветных?

Пусть событие А – среди извлеченных карандашей нет цветных.

Соответствующая таблица данных такова:

	Всего карандашей	Цветные	Не цветные
Было
Извлечено

 

Тогда (См. правило из задания №1 варианта №1)

Ответ:

Задание №2. В букет из 5 роздобавили 3 красных розы, после чего наугад

извлекли одну. Какова вероятность того, что она красная.

Событие А – извлечена красная роза. Выпишем полную группу событий (предположений), при наступлении которых появляется событие А:

событие В₁ – первоначально в букете не было красных роз;

событие В₂ – первоначально в букете была одна красная роза;

событие В₃ – первоначально в букете было две красные розы;

событие В₄ – первоначально в букете было три красные розы;

событие В₅ – первоначально в букете было четыре красные розы;

событие В₆ - первоначально все пять роз в букете были красные.

Соответствующая система уравнений для нахождения Р(В _i), i =1,...,6 запишется:

Пусть Р(В₁) = х. Тогда 6х = 1, откуда т.е. Р(В _i) , i =1,...,6

Найдем все условные вероятности:

т.к. перед извлечением розы (при предположении В₁) число всех роз равно 8, а красных 3. Аналогично:

Подставляем все найденные вероятности в формулу полной вероятности:

Ответ: Р(А) .

Задание №3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х
Р	0,5		0,35	0,1

Закон распределения в данном виде полностью дискретную случайную величину Х не описывает, т.к. неизвестна вероятность Р₂ значения х₂ = 20.

Но учитывая условие , можно доопределить данный закон, найдя р₂ по формуле:

р₂ = 1-(р₁+р₃+р₄) = 1-(0,5+0,35+0,1) = 0,05

Найдем математическое ожидание М(Х):

.

Тогда (М(Х))²≈1400

Закон распределения случайной величины Х² таков:

 

Х2
Р	0,5	0,05	0,35	0,1

Дисперсия находится по известной формуле:

D(X) = M(X²) – (M(X))² = 2630 – 1400 = 1230, а

среднее квадратическое отклонение:

Ответ: D(X) = 1230, 35.

 

Литература

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.

2. Джугели Т.П., Моисеенко В.П., Кудинова Л.Г. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания. – М.: МГАВМиБ им. К.И. Скрябина, 2001.