А) графическим методом

Примеры решения игр в смешанных стратегиях

Рассмотрим игру , в которой платежи выплачиваются игроку I.

 

I\II
				-1	-1
	4	3

 

α; = mах{-1, 2} = 2, β; = min {4, 3, 3, 6} = 3, . Решение игры следует искать в смешанных стратегиях. Найдем ожидаемые выигрыши I игрока, соответствующие чистым стратегиям II игрока.

 

Чистые стратегии второго игрока	Ожидаемые выигрыши первого игрока
	-2 x 1+4 - х 1 + 3 х 1+2 -7 x 1+6

Найдем решение

графическим методом:

 

 

На рисунке изображены четыре прямые линии, соответствующие чистым стратегиям II игрока. Чтобы определить наилучший результат из наихудших, построена нижняя огибающая четырех указанных прямых, которая представляет минимальный (наихудший) выигрыш для I игрока независимо от того, что делает II игрок. Максимум (наилучшее) нижней огибающей соответствует максимальному решению в точке . Эта точка определяется пересечением прямых 3 и 4.

Следовательно, оптимальным решением для игрока I является смешиванием стратегий и с вероятностями 0,5 и 0,5 (из ). Соответствующая цена игры определяется подстановкой в уравнение либо прямой 3, либо прямой 4.

= - х ₁ + 3 = -1/2 + 3 = 5/2.

Найдем оптимальное решение второго игрока. Оптимальная смешанная стратегия игрока II определяется двумя стратегиями, которые формируют нижнюю огибающую графика. Это значит, что игрок II может смешивать стратегии и , в этом случае и . Следовательно, ожидаемые платежи игрока II, соответствующие чистым стратегиям игрока I, имеют вид

 

Чистые стратегии первого игрока	Ожидаемые проигрыши второго игрока
	4 у 3 - 1 -4 y 3 + 6

 

Наилучшее решение из наихудших для игрока II представляет собой точку минимума верхней огибающей заданных двух прямых (см. рис.). Эта процедура эквивалентна решению уравнения 4 у ₃ – 1 = -4 y ₃ + 6.

Его решением будет , что определяет цену игры .

Таким образом, решением игры для игрока I является смешиванием стратегий и с равными вероятностями 0,5 и 0,5 (т.е. ), а для игрока II – смешиванием стратегий и с вероятностями и (т.е. ).

Замечание: игра, рассмотренная в примере, имеет альтернативное решение для игрока II, так как максимальная точка определяется более чем двумя прямыми.