Погрешности измерений в лабораторных работах

 

Погрешности принято подразделять на грубые (промахи), систематические и случайные при проведении прямых (непосредственных) измерений какой-либо физической величины.

Будем считать, что:

1) Грубые погрешности исключены;

2) Поправки, которые следовало определить (например, смещение нулевого деления шкалы) вычислены и внесены в окончательные результаты;

3) Систематические погрешности определяются неточностью средства измерения и указаны в его техническом паспорте. Знак этой погрешности заранее неизвестен, поэтому её необходимо учитывать в окончательном результате измерений.

4) Случайные погрешности уменьшаются при увеличении числа измерений. Пусть проведены n измерений величины x. Тогда за лучшую оценку истинного значения принимается среднее арифметическое отдельных измерений

 

(1)

где: x_i - результат i–го измерения.

Для оценки случайной погрешности существует несколько способов. Наиболее распространенная так называемая средняя квадратичная погрешность среднего арифметического

 

(2)

 

 

Пусть P означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного на величину ∆x, где ∆x - суммарная погрешность измерения данной величины: абсолютная погрешность. Тогда можно записать

 

где x_ист – истинное значение измеряемой величины, которое заранее неизвестно.

Вероятность P называется доверительной вероятностью, а интервал от до - доверительным интервалом.

Если ограничиться учётом только случайных погрешностей, то при небольшом числе измерений полуширина доверительного интервала равна

 

(3)

 

где t_P,n – коэффициенты Стьюдента, которые табулированы в зависимости от P и n. В наших работах установим P = 0,95. Тогда при n = 3 t_0,95;4 = 4,3, при n = 4 t_0,95;4 = 3,2, при n = 5 t_0,95;5 = 2,8.

Будем считать, что систематическая погрешность определяется, в основном погрешностью средства измерения. Для аналоговых электроизмерительных приборов – это класс точности (указывается на приборе)

 

(4)

 

где ∆x_пр - наибольшая абсолютная погрешность прибора; x_N – предельное значение шкалы прибора.

Из (4) следует, что

 

(5)

 

Погрешности цифровых измерительных приборов даются в паспорте каждого из них.

При многократных измерениях среднеквадратическое значение инструментальной погрешности P = 0,95 определяется по формуле:

 

(6)

 

Если при нескольких измерениях устойчиво получаются одни и те же результаты, то за ∆x_си можно принять половину цены деления шкалы или половину единицы цифры последнего разряда результата.

 

Относительная погрешность результата находится по формуле

 

(7)

 

или часто в процентах

 

(8)

 

Таким образом предлагается следующий порядок операций при прямых измерениях.

1) Вычисляется среднее арифметическое из n измерений:

 

 

2) Определяется средняя квадратичная погрешность среднего арифметического:

 

 

3) Находится

 

 

4) Определяется абсолютная погрешность результата измерений

 

 

5) Оценивается относительная погрешность результата измерений

 

 

6) Окончательный результат записывается в виде

 

; P = 0,95, n = 3÷5.