Погрешности косвенных измерений. Пусть измеряемая величина является функцией непосредственно измеряемых величин

 

Пусть измеряемая величина является функцией непосредственно измеряемых величин

 

(9)

 

Теория погрешностей определяет, что абсолютная погрешность ∆y находится по формуле

 

(10)

 

где ∂f/∂x_i обозначает так называемую частную производную, т. е. производная, которая вычисляется от функции f по аргументу x_i, причём все остальные аргументы считаются постоянными.

Если измеряемые величины x_i входят в основную формулу в виде произведения, то удобно определить вначале относительную погрешность по формуле

 

(11)

 

а затем найти и

Рассмотрим применение формул (10) и (11) на примерах.

Пусть

 

.

 

 

и по формуле (10)

 

,

 

причём ∆x₁ и ∆x₂ определены предварительно по формуле (4).

 

Пусть

 

.

 

В этом случае сначала найдём натуральный логарифм, а затем – частичные производные:

 

 

 

Подставляем в (11), найдём

 

 

Нетрудно видеть, что предварительное логарифмирование существенно упрощает вид частных производных.

Возможен и другой подход к оценке погрешности результата косвенного измерения. Вместо определения искомой величины через среднее значение

 

 

 

Можно для каждого выполненного опыта вычислить

 

 

а затем найти как среднее арифметическое и далее абсолютную погрешность по формуле (3).

Оба способа дают близкие результаты.

Пусть, например, находится плотность цилиндрического тела:

ρ = 4m / πD²H,

причем непосредственно определяется три раза диаметр цилиндра D_i и его высота Н_i (i = 1, 2, 3). Тогда можно подсчитать

ρ_i = 4m / πD²_iH_i.

для каждого из трех измерений.

Среднее значение плотности можно найти, как обычно, по формуле:

<ρ> =∑ρ_i /3,

а абсолютная погрешность определяется как

Δρ = 4,3√[∑(<ρ> – ρ_i) /6].

Таблица 1.