Излучение низких частот.

Исследуем случай, когда длина волны значительно больше размеров тела. Найдем сначала потенциал поля в области пространства, расположенной вблизи поверхности тела (т.е. на расстоянии, большем, чем его линейные размеры, но меньше, чем длина волны , где l -размер излучателя).

Оценим порядок членов в волновом уравнении (2.1). В указанной области пространства потенциал скорости мало изменяет свое численное значение при изменении расстояния на величину порядка линейного размера l. Поэтому величина , входящая в волновое уравнение и выражающая вторую производную от функции по расстоянию r имеет значение , следовательно ~ .

Что касается второй величины, входящей в волновое уравнение, то она может быть определена как

.

(2.6)

Тогда для условия излучения низких частот, когда , или , вторым членом в уравнении (2.2) по сравнению с первым можно пренебречь:

.

(2.7)

 

Т.е. на низких частотах или на расстояниях меньших по сравнению с длиной волны из (2.1.), получаем - уравнение Лапласа.

При излучении низких частот движение жидкости на расстояниях r<<l подчиняется уравнению Лапласа и жидкость можно считать несжимаемой. Вблизи излучателя есть область среды, где действует не волновое уравнение, а уравнение Лапласа, где жидкость несжимаема. Шарик, расположенный в среде и являющийся излучателем, изменяет объем. Изменение объема распределяется по поверхности радиуса r и несжимаемая область передает изменения объема шарика, т.е. колебания.

Если провести вокруг тела сферическую поверхность радиусом r, то скорость движения жидкости в каждой точке этой поверхности равна некоторой функции времени и имеет направление, совпадающее с направлением радиуса сферы. В этом случае для области между l и r<<l можно записать решение уравнения Лапласа в виде произведения функции от координаты r и функции времени t:

(2.8)

 

Функция Y(r) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

.

(2.9)

 

После интегрирования этого уравнения получим:

.

(2.11)

 

Постоянная интегрирования С₁ находится из условия

(2.12)

Скорость течения жидкости v×f(t) через сферическую поверхность радиусом r₀ определяют тем, что объем жидкости равен количеству жидкости, выталкиваемой телом за единицу времени (т.к. жидкость несжимаема), т.е. объем жидкости равен скорости изменения объема тела dV/dt.

Отсюда следует, что линейная скорость жидкости, протекающей через поверхность сферы, равна

(2.13)

и постоянная С₁ может быть вычислена по формуле:

(2.14)

В результате потенциал скорости вблизи поверхности колеблющегося тела выражают следующей формулой:

(2.15)

На больших расстояниях от тела решение должно удовлетворять не уравнению Лапласа, а волновому уравнению (2.1) и представляет собой расходящуюся волну. Оно должно выражаться функцией:

(2.16)

Для нахождения колебательной скорости в дальней зоне по этой формуле, найдем производную:

(2.17)

и получим

 

,

(2.18)

где объемное ускорение.

Вычислим звуковое давление:

.

(2.19)

 

Полная мощность излучения равна:

.

(2.20)

 

Интегрирование проводят по поверхности сферы. Этот результат показывает, что для низких частот полная мощность излучения пропорциональна квадрату объемного ускорения.

Объемное ускорение при гармонических колебаниях пропорционально амплитуде смещения. Т.о. полная мощность излучения длинных волн пропорциональна четвертой степени частоты:

(2.21)