СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

На каждый факт, на каждое событие действует множество различных причин и сил, способствующих и препятствующих его появлению. Пытаясь классифицировать изучаемое явление, мы сталкиваемся с необходимостью выявления общих характеристик, относящихся как к любому элементу рассматриваемой совокупности, так и ко всей совокупности в целом. Такими общими характеристиками, раскрывающими определенные свойства и направление развития процесса, выступают средние величины.

Главное значение средних состоит в их обобщающей функции, т.е. в замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Средняя отражает совокупный результат развития и является равнодействующей различных причин и сил, воздействующих на эти явления.

Для обработки массовых данных в статистике разработаны средние гармоническая, геометрическая, квадратическая, а также описательные средние – мода и медиана. Традиционно обращаются, главным образом, к средней арифметической.

Использование средних предполагает следование определенным правилам.

1. До вычисления средних необходимо обеспечить качественную однородность совокупности.

2. Средние вычисляются по массовым данным, т.е. по данным достаточно большого числа единиц наблюдения.

Средние рекомендуется вычислять по сведениям массовых источников, где действует закон больших чисел. Чем значительнее количество наблюдаемых фактов, тем бывает легче отделить случайное от необходимого.

В жизни чаще всего то общее и существенное, что свойственно всем явлениям одного вида скрыто их индивидуальными особенностями. Следовательно, невозможно вскрыть общее, рассматривая отдельные, малочисленные случаи. Чем больше единиц наблюдения, тем значительнее отвлекается средняя величина от специфических черт индивидуальных явлений.

3. Нельзя ограничиваться вычислением средней в целом по совокупности, не меньшее значение имеют средние характеристики и для каждого отдельного типа.

На практике статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления. Это особенно важно помнить при работе с уже сгруппированными данными и средними величинами, исчисленными до вас. В этом случае нужна проверка типичности средней величины по базовому группировочному признаку.

Средняя не сводится только к количественному выражению "индивидуальных уклонений". Одна из главных задач научного исследования – выявление закономерностей. Метод средних, игнорируя каждый отдельный случай, устанавливает их общее распределение в конкретных условиях места и времени. Средняя является специфической формой выражения содержания общего закона, который выступает в виде тенденции.

Средняя арифметическая - является самым распространенным видом средних величин. Если в исследовании автор не указывает вид примененного среднего показателя, подразумевается средняя арифметическая. Она исчисляется путем отношения суммы всех значений признака к общему числу наблюдений.

Встречаются случаи, когда в распоряжении исследователя имеются относительные показатели признака (доли, проценты, удельный вес и пр.). Общее определение средней арифметической сохраняет силу и в этом случае, но надо иметь в виду, что сумма таких показателей не является реальной величиной какого-либо признака.

Основное свойство средней арифметической состоит в представлении всех значений признака в распределении. Следовательно, ее величина подвержена влиянию как очень больших, так и очень малых вариант. В результате она перестает быть типичной.

Мода. (Мо) представляет наиболее часто встречающееся значение признака в упорядоченной совокупности, наиболее типичное среднее значение.

В дискретном ряду Мо определяется без вычислений как значение признака с наибольшей частотой. Если в вариационном ряду (в группировке) равная максимальная частота встречается у двух или нескольких значений признака, то он считается соответственно бимодальным или мультимодальным. Это говорит о неоднородности совокупности и, следовательно, надо проверить, правильно ли составлена группировка.

Приближенное значение моды можно определить по графику. Для этого надо построить гистограмму распределения. Внутри "столбика" с наибольшей высотой проводят прямые линии, соединяющие его правый верхний угол с правым верхним утлом предшествующего "столбика", а левый верхний - с левым верхним утлом следующего "столбика". Абсцисса точки пересечения этих линий покажет моду. Проиллюстрируем сказанное графиком (рис. 1).

Рис. 1. Гистограмма распределения рабочих N-ского предприятия по возрасту.

 

Графическое определение моды применяется во всех случаях, когда в задачу исследования не входит обязательное получение точного значения наиболее распространенной величины признака. Например, для проверки рабочей гипотезы, когда точная величина принципиальной роли не играет, или для повышения наглядности материала. По нескольким графикам можно провести приблизительное сравнение мод различных признаков, чего невозможно сделать по таблицам.

Медиана. (Me) – величина, определяющая значение признака, находящегося в середине упорядоченной совокупности. Медиана делит изучаемую совокупность так, что число единиц с большим и меньшим, чем медиана значением признака, одинаково.

Чтобы определить Me в дискретном ряду, надо построить ряд накопленных частот, затем поделить сумму всех частот пополам, а затем по накопленным частотам определить величину варианты, соответствующей той группе, в которой накопленная частота впервые превышает половину общей численности совокупности.

Примерное значение медианы можно определить с помощью графика. Для этого используют кумуляту, последнюю ординату которой делят пополам и через полученную точку проводят прямую, параллельную оси ОХ до пересечения ее с кумулятой. Перпендикуляр, восставленный из этой точки на ось абсцисс указывает значение медианы. Проиллюстрируем это положение графиком, построенным по данным примера 3. (Рис. 2).

Значение и смысл графического определения медианы аналогичны графическому определению моды.

Обобщая три средних величины, рассчитанные по одним и тем же данным, видим существующую разницу. Средний возраст условной группы рабочих (7) - 33,6 лет, наиболее распространенный, часто встречающийся средний возраст (Мо) - 26,2 лет, при этом половина рассматриваемой группы имеет средний возраст (Me) - 31,5 лет. Какой величине следует отдать предпочтение? Какой показатель считать наиболее достоверным и точным?

Рис. 2. Кумулята распределения рабочих N-ского предприятия по возрасту.

 

При решении этих вопросов надо помнить, что:

1. Мода (Мо) имеет значение в том случае, когда ее величина расходится и с медианой (Me), и со средней арифметической ( ), ими не следует пренебрегать. Это же можно сказать и о медиане. Так что для исследования полезно вычислять все три показателя.

2. Различие в значениях величин обусловлено асимметричным распределением. Средняя арифметическая подвержена влиянию каждой варианты, поэтому она смещается в направлении наибольших значений признака. На моду крайние (максимальные и минимальные) варианты влияния не оказывают. Медиана зависит только от числа вариант, а не от их величины.

3. Медиана по своей математико-статистической природе является самой представительной средней. При больших колебаниях в значениях признаков или когда не определены крайние интервалы в группировках, лучше пользоваться медианой. При вычислении моды для интервальной группировки желательно, чтобы интервалы были равновеликими.

4. Мода чаще других величин применяется по отношению к качественным признакам. Если скопление частот возле моды составляет 10-15% их общего числа, особое значение приобретает медиана, представляя более достоверное значение среднего показателя.

 

Когда в разных совокупностях величина средней арифметической примерно одинакова – это еще не говорит об одинаковости или схожести самих совокупностей. За совпадением средних может скрываться разный размах вариаций признаков. Колеблемость показателей, т.е. разброс между максимальными и минимальными значениями признаков проверяется методом группировки и с помощью дисперсии (от латинского dispersio - рассеяние).

Простейшим способом изучения вариации признака в совокупности является размах вариации или ее амплитуда (R). Величина R определяется как разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности.

R = X_max - X_min

Так, по данным примера 3 размах вариации признака "возраст" равен:

R = 65 - 17 = 48 (лет).

Амплитуда вариации определяет лишь наибольшее различие в значениях признака и обусловлена только двумя "крайними" величинами. Она не учитывает особенности распределения в целом, не учитывает все различия каждого значения признака. На практике чаще всего прибегают к изучению среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) конкретных значений признака от его средней величины. Оно обозначается σ (сигма) или S и позволяет определить границы, в которых изменяются конкретные значения признака. Величина, насколько в среднем каждое значение признака отличается от его средней арифметической, находится по формуле:

, где

х - конкретные значения признака;

- средняя арифметическая;

n - число наблюдений.

Стандартное квадратическое отклонение, возведенное в квадрат, называется дисперсией.

В том случае, если мы имеем дело с группировкой, с интервальным рядом, формула видоизменяется:

, где

х - конкретные значения признака (для интервальной группировки - срединные значения признака);

- средняя арифметическая;

р - частота признака в группировке.

Рассмотрим вычисление среднего квадратического отклонения для данных примера 3.

Полученное значение говорит о том, что в рассматриваемой совокупности рабочих N-ского предприятиях их возраст в среднем отклонялся на 12,77 лет от средней величины, равной 34,56 лет.

Достаточно просто вычисляется среднее квадратическое отклонение для определения размаха вариации качественных (альтернативных) признаков. Формула выглядит так:

, где

- частота первой варианты признака;

- частота второй варианты признака;

n - число наблюдений.

Пример 4: Даны сведения об успеваемости группы студентов в количестве 24 человек. После очередной экзаменационной сессии 6 человек имеют задолженности по тем или иным учебным дисциплинам, а 18 человек сдали успешно все экзамены. Среднее квадратическое отклонение в этом случае равно:

Дисперсии при интерпретации выражаются в тех же единицах, что и сами признаки. Это приводит, к тому, что будучи выражены в разных единицах измерения, средние квадратические отклонения несравнимы. То есть, нельзя сравнивать количество детей с земельной площадью. В случае необходимости пользуются коэффициентом вариации (V), определяемым как отношение стандартного отклонения к средней арифметической.

Полученную величину можно выразить в процентах. Сопоставление коэффициентов вариации нескольких признаков расширяет возможности исследователя при анализе и интерпретации распределений признаков - их равномерности, нормальности, колеблемости.

Показатели вариации раскрывают уровень репрезентативности (представительности) средней величины, степень ее точности, адекватности реальности. При большом разбросе в значениях признака, при значительных показателях вариации средняя величина не является достаточно достоверной характеристикой изучаемой совокупности.

Какое место занимает дисперсия в исследованиях? Во-первых, как мы уже отмечали выше, она является необходимым и обязательным дополнительным показателем при сравнении средних и сопоставлении различных группировок. Во-вторых, с ее помощью проверяется и обосновывается правомерность применения математических методов. Дисперсия служит своеобразным индикатором однородности изучаемой совокупности и нормальности ее распределения. В-третьих, сравнение дисперсий различных признаков позволяет судить об их качественном значении в рассматриваемой системе. Дисперсии помогают не потерять сглаженное средними показателями своеобразие признаков изучаемого явления.