Соответствие между оригиналами и изображениями

Таблица 2

№	x(t) при (оригинал)	X(p) (изображение)	№	x(t) при (оригинал)	X(p) (изображение)
I			VI
II			VII
III			VIII
IV			IX
V			X

Пример 1. Дана струна, закрепленная на концах х=0 и х=l. Пусть в начальный момент форма струны имеет вид ломаной ОАВ (рисунок 1). Найти форму струны для любого времени t, если начальные скорости отсутствуют.

Решение. Угловой коэффициент ОА (рис.1) равен h/(l/2), т.е. 2h/l. Следовательно, уравнение этой пря мой есть u=(2h/l)x.

Прямая АВ отсекает на осях координат отрезки l и 2h, поэтому уравнение этой прямой имеет вид х/l+u/(2h)=l, или u=(2h/l)(l-x). Итак,

. Интегрируя по частям, получаем:

Следовательно,

Выпишем несколько членов ряда:

Пример 2.Вычислить интеграл где l:

а) отрезок прямой от точки 0 до точки 1+2i;

б) дуга параболы y=2x² от точки 0 до точки 1+2i.

Решение. Так как l - отрезок прямой y=2x (рис. 2) и Imz=y, то

Так как для всех точек l имеем y=2x², то (рис. 3)

Пример 3. Найти оригинал x(t) по заданному изображению X(p), где

Решение. Разложим дробь на простейшие дроби:

Поэтому Полагая в этом тождестве последовательно р=-1, р=0 и приравнивая коэффициенты при р², находим: 2А=3; 3А+С=2; А+В=1, откуда A=3/2, B=-1/2, C=1/2.Таким образом, получаем:

Перейдем от изображений к оригиналам, используя таблицу 2:

Пример 4.Найти частное решение дифференциального уравнения, удовле­творяющее начальным условиям: x^//-2x^/+2x=2t-2, x(0)=x^/(0)=0.

Решение. Пусть x(t) X(p). По теореме о дифференцировании оригинала получаем изображения производных функции x(t):

x^/(t) рX(p)-x(0)=рX(p),

x^//(t) р²X(p)-px(0)-x^/(0)=р²X(p).

Так как ,

то приходим к операторному уравнению

,

из которого находим изображение X(p) частного решения дифференциаль­ного уравнения:

Методом неопределенных коэффициентов находим разложение этой дроби в виде суммы дробей, являющихся оригиналами элементарных функций:

Следовательно,

Контрольная работа по теме: ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

 

 

3.Найти решение задачи Коши.