Соответствие между оригиналами и изображениями

Таблица 2

№	x(t) при (оригинал)	X (p) (изображение)	№	x(t) при (оригинал)	X (p) (изображение)
I			VI
II			VII
III			VIII
IV			IX
V			X

Пример 1. Дана струна, закрепленная на концах х =0 и х = l. Пусть в начальный момент форма струны имеет вид ломаной ОАВ (рисунок 1). Найти форму струны для любого времени t, если начальные скорости отсутствуют.

Решение. Угловой коэффициент ОА (рис.1) равен h /(l /2), т.е. 2 h / l. Следовательно, уравнение этой пря мой есть u =(2 h / l) x.

Прямая АВ отсекает на осях координат отрезки l и 2 h, поэтому уравнение этой прямой имеет вид х/l+u/(2h)=l, или u =(2 h / l)(l - x). Итак,

. Интегрируя по частям, получаем:

Следовательно,

Выпишем несколько членов ряда:

Пример 2. Вычислить интеграл где l:

а) отрезок прямой от точки 0 до точки 1+2 i;

б) дуга параболы y=2x² от точки 0 до точки 1+2 i.

Решение. Так как l - отрезок прямой y =2 x (рис. 2) и Imz = y, то

Так как для всех точек l имеем y=2x², то (рис. 3)

Пример 3. Найти оригинал x (t) по заданному изображению X (p), где

Решение. Разложим дробь на простейшие дроби:

Поэтому Полагая в этом тождестве последовательно р =-1, р =0 и приравнивая коэффициенты при р ², находим: 2 А =3; 3 А + С =2; А + В =1, откуда A =3/2, B =-1/2, C =1/2.Таким образом, получаем:

Перейдем от изображений к оригиналам, используя таблицу 2:

Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовле­творяющее начальным условиям: x ^//-2 x ^/+2 x =2 t -2, x (0)= x ^/(0)=0.

Решение. Пусть x (t) X (p). По теореме о дифференцировании оригинала получаем изображения производных функции x (t):

x^/ (t) рX (p)- x (0)= рX (p),

x ^//(t) р²X (p)- px (0)- x^/ (0)= р²X (p).

Так как ,

то приходим к операторному уравнению

,

из которого находим изображение X (p) частного решения дифференциаль­ного уравнения:

Методом неопределенных коэффициентов находим разложение этой дроби в виде суммы дробей, являющихся оригиналами элементарных функций:

Следовательно,

Контрольная работа по теме: ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

 

 

3.Найти решение задачи Коши.