Матрицы, определители и их приложение к исследованию и решениюсистем линейных алгебраических уравнений»
Для студентов направлений бакалавриата
Уфа 2012
УДК 378.147:51 ББК 74.58:22.1 М34
Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)
Составители: ст. преподаватель, к.т.н. Валиахметова Ю.И. ст. преподаватель Карамов В.И.
Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.
Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.
Предварительно приведем вопросы по разделу, на которые следует ответить перед решением задач и на зачете. 1. Основные понятия, связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец, определитель квадратной матрицы и т.п.) 2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих действий. 3. Умножение матриц и его свойства. 4. Вычисление определителей второго, третьего и высших порядков. 5. Обратная матрица, ее строение. 6. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений, решение ее с помощью обратной матрицы. 7. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса. 8. Исследование системы уравнений первой степени общего вида; основная и расширенная матрицы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли.
Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач. Задача 1. Вычислить определитель Решение. По формуле получим: Ответ. 59. Задача 2. Вычислить определитель Решение. Используя формулу треугольников получим: Ответ. -25. Задача 3. Вычислить определитель . Решение. Третий столбец определителя содержит два нулевых элемента. Используя теорему Лапласа, разложим определитель по этому столбцу:
. Ответ. -36. Задача 4. Вычислить определитель . Решение. Упростим определитель: Раскладываем определитель по первому столбцу: Вынесем общий множитель (5) первого столбца за знак определителя. Получим: Ответ. -150.
Задача 5. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение. Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду: Так как , то система совместна и является неопределенной. Количество главных переменных равно , количество свободных переменных равно . Выберем какой-нибудь отличный от нуля минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Его столбцы – первый и второй столбцы матрицы - соответствуют переменным и - это будут главные переменные, а и - свободные переменные. Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару и , т.к. любой соответствующий им минор равен нулю:
, , . Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: Перепишем ее в виде: или Обозначим свободные переменные: через , через . Запишем общее решение системы: ; частное решение при . Ответ. – общее решение, – частное решение системы уравнений. Задача 6. Исследовать систему линейных уравнений: Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:
Т ак как , то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение , не имеющее решений. Ответ: система несовместна. Задача 7. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений: Решение. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду: Так как , то система является неопределенной. В качестве главных переменных можно выбрать и , соответствующие столбцам ненулевого минора второго порядка: ; в качестве свободных переменных – и . Запишем систему, соответствующую полученной матрице: Из второго уравнения получим . Подставляя это выражение в первое уравнение, получим . Обозначая свободные переменные: через , через , запишем общее решение системы: или . Ответ. .
|