Студопедия — Матрицы, определители и их приложение к исследованию и решению
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Матрицы, определители и их приложение к исследованию и решению






систем линейных алгебраических уравнений»

 

Для студентов направлений бакалавриата

 

Уфа 2012

 

УДК 378.147:51

ББК 74.58:22.1

М34

 

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)

 

 

Составители: ст. преподаватель, к.т.н. Валиахметова Ю.И.

ст. преподаватель Карамов В.И.

 

 

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

 

 

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики

доцент Лукманов Р.Л.

 

Предварительно приведем вопросы по разделу, на которые следует ответить перед решением задач и на зачете.

1. Основные понятия, связанные с матрицами (матрица-строка, матрица-столбец, определитель квадратной матрицы и т.п.)

2. Сложение матриц и умножение матрицы на число. Свойства этих действий.

3. Умножение матриц и его свойства.

4. Вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

5. Обратная матрица, ее строение.

6. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений, решение ее с помощью обратной матрицы.

7. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера и методом Гаусса.

8. Исследование системы уравнений первой степени общего вида; основная и расширенная матрицы; ранг матрицы; теорема Кронекера-Капелли.

 

Далее рассмотрим образец решения некоторых типовых задач.

Задача 1. Вычислить определитель

Решение. По формуле получим:

Ответ. 59.

Задача 2. Вычислить определитель

Решение. Используя формулу треугольников

получим:

Ответ. -25.

Задача 3. Вычислить определитель .

Решение. Третий столбец определителя содержит два нулевых элемента. Используя теорему Лапласа, разложим определитель по этому столбцу:

 

.

Ответ. -36.

Задача 4. Вычислить определитель .

Решение. Упростим определитель:

Раскладываем определитель по первому столбцу:

Вынесем общий множитель (5) первого столбца за знак определителя. Получим:

Ответ. -150.

 

Задача 5. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решение.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как , то система совместна и является неопределенной.

Количество главных переменных равно , количество свободных переменных равно .

Выберем какой-нибудь отличный от нуля минор второго порядка полученной матрицы , например, минор . Его столбцы – первый и второй столбцы матрицы - соответствуют переменным и - это будут главные переменные, а и - свободные переменные.

Заметим, что в качестве главных переменных в данном примере нельзя выбрать пару и , т.к. любой соответствующий им минор равен нулю:

 

, , .

Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Перепишем ее в виде:

или

Обозначим свободные переменные: через , через . Запишем общее решение системы:

; частное решение при .

Ответ. – общее решение, – частное решение системы уравнений.

Задача 6. Исследовать систему линейных уравнений:

Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

Т ак как , то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение , не имеющее решений.

Ответ: система несовместна.

Задача 7. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений:

Решение. Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как , то система является неопределенной. В качестве главных переменных можно выбрать и , соответствующие столбцам ненулевого минора второго порядка: ; в качестве свободных переменных – и .

Запишем систему, соответствующую полученной матрице:

Из второго уравнения получим . Подставляя это выражение в первое уравнение, получим .

Обозначая свободные переменные: через , через , запишем общее решение системы:

или

.

Ответ. .







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 431. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

ТЕХНИКА ПОСЕВА, МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ ЧИСТЫХ КУЛЬТУР И КУЛЬТУРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МИКРООРГАНИЗМОВ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА БАКТЕРИЙ Цель занятия. Освоить технику посева микроорганизмов на плотные и жидкие питательные среды и методы выделения чис­тых бактериальных культур. Ознакомить студентов с основными культуральными характеристиками микроорганизмов и методами определения...

САНИТАРНО-МИКРОБИОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВОДЫ, ВОЗДУХА И ПОЧВЫ Цель занятия.Ознакомить студентов с основными методами и показателями...

Меры безопасности при обращении с оружием и боеприпасами 64. Получение (сдача) оружия и боеприпасов для проведения стрельб осуществляется в установленном порядке[1]. 65. Безопасность при проведении стрельб обеспечивается...

Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку...

Деятельность сестер милосердия общин Красного Креста ярко проявилась в период Тритоны – интервалы, в которых содержится три тона. К тритонам относятся увеличенная кварта (ув.4) и уменьшенная квинта (ум.5). Их можно построить на ступенях натурального и гармонического мажора и минора.  ...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия