Расчетно-пояснительная записка

ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

 

 

Специальность: _____________________________

_____________________________

_____________________________

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему: «Расчет и анализ электрических цепей»

Расчетно-пояснительная записка

Дисциплина: «Теоретические основы электротехники»

 

Выполнил: уч. гр. АЭП-22

Король А.Г.

Проверил: Гончаров А.А.

 

Гродно 2011

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………………

1 Анализ электрического состояния линейных и нелинейных

электрических цепей постоянного тока……………………………………….

1.1 Расчет линейных электрических цепей постоянного тока…………….

1.1.1 Применение метода законов Кирхгофа……………………………

1.1.2 Применение метода контурных токов…………………………….

1.1.3 Применение метода узловых потенциалов...……………...............

1.1.4 Расчет и построение потенциальной диаграммы контура………

1.2. Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока…………

2 Анализ электрического состояния линейных электрических цепей переменного тока: однофазных и трехфазных ………………………………..

2.1 Расчет однофазных линейных электрических цепей

переменного тока…………………………………………………………….

2.2 Расчет трехфазных линейных электрических цепей

переменного тока…………………………………………………………….

3 Исследование переходных процессов в электрических цепях………..

Заключение………………………………………………………………………

Литература……………………………………………………………………….

Введение

 

Электротехника является наукой о техническом использовании электричества и магнетизма в промышленности. Без достаточно глубокого знания электротехники невозможно представить себе инженеров – создателей и руководителей современного производства.

Электротехника изучает анализ явлений, происходящих в электрических и магнитных цепях, изучает вопросы, связанные с установившимися и переходными процессами, периодическими несинусоидальными токами в линейных электрических цепях переменного и постоянного тока.

Радиотехнические цепи и элементы, используемые для осуществления преобразований сигналов и колебаний, можно разделить на следующие основные классы: линейные цепи с постоянными параметрами, линейные цепи с переменными параметрами, нелинейные цепи.

В данной курсовой работе исследуются линейные электрические цепи постоянного и переменного тока с постоянными параметрами, а также нелинейные электрические цепи постоянного тока.

1. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

 

1.1 Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

 

В электрической цепи, изображенной на рисунке А1 , известны сопротивления приемников R1=45 Ом, R2=53 Ом, R3=32 Ом, R4=24 Ом, R5=61 Ом, R6=15 Ом, сопротивления источников ЭДС r01=1 Ом, r02=1 Ом и значения ЭДС E1=30 В, Е2=20 В.

Выполнить следующее:

Выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчета токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

 

1.1.1 Применение метода законов Кирхгофа

Метод узловых и контурных уравнении основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

При расчете данным методом произвольно задаем направление токов в ветвях I1, I2, I3, I4, I5, I6.

 

Рисунок 1.1 − Схема линейной электрической цепи

постоянного тока

 

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов).

В заданной цепи шесть ветвей, значит, в системе должно быть шесть уравнений (m = 6). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с n узлами можно составить (n-1) независимых уравнений. В нашей цепи четыре узла (А, В, С, D), значит, число уравнений: n-1 = 4-1 = 3. Составляем два уравнения для любых 3-х узлов, например, для узлов A, В и С.

узел A: -I2 – I3 + I4 = 0

узел В: -I1 + I3 + I5 = 0

узел С: I1 – I4 – I6 = 0

Всего в системе должно быть шесть уравнений. Три уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур АBCА - обход по часовой стрелке:

I1(R1 + r01) + I3R3 + I4R4 = E1

Контур BCDB - обход против часовой стрелки:

I1(R1 + r01) + I5R5 + I6R6 = E1

Контур AFCDA - обход против часовой стрелки:

I2(R2 + r02) + I4R4 – I6R6 = E2

ЭДС в контуре берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает – знак «–».

Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком «+», если направление тока в нем совпадает с обходом контура, со знаком «–», если не совпадает.

Мы получили систему из шести уравнений с шестью неизвестными:

-I2 – I3 + I4 = 0;

-I1 + I3 + I5 = 0;

I1 – I4 – I6 = 0;

I1(R1 + r01) + I3R3 + I4R4 = E1;

I1(R1 + r01) + I5R5 + I6R6 = E1;

I2(R2 + r02) + I4R4 – I6R6 = E2.

Подставив уравнения, полученные по первому закону Кирхгофа, в послед­ние три мы получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

I1(R1 + r01) + I3R3 + I4R4 = E1;

I1(R1 + r01 + R5 + R6) – I3R5 – I4R6 = E1;

-I1R6 – I3(R2 + r02) + I4(R2 + r02 + R4 + R6) = E2.

Подставим численные значения ЭДС источников и сопротивлений:

46∙I1 + 32∙I3 + 24∙I4 = 30;

122∙I1 – 61∙I3 – 15∙I4 = 30;

-15∙I1 – 54∙I3 + 93∙I4 = 20.

Решив данную систему с помощью, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.

Вычислим определители Δ, Δ1, Δ2, Δ3.

Вычисляем токи:

Подставив значение токов в первую часть системы, получим:

 

1.1.2 Применение метода контурных токов

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1.

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока – контурного тока, являющегося расчетной величиной.

В заданной цепи (рисунок 1.1) можно рассмотреть три контура-ячейки (ABCA, BCDB, AFCDA) и ввести для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры – это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:

· стрелками указываем выбранные направления контурных токов Ik1, Ik2, Ik3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же;

· составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

Ik1(R1 + r01 + R3 + R4) – Ik2(R1 + r01) – Ik3R4 = E1

-Ik1(R1 + r01) + Ik2(R1 + r01 + R5 +R6) – Ik3R6 = -E1

-Ik1R4 – Ik2R6+ Ik3(R2 + r02 + R4 + R6) = -E2

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопро тивлений.

102∙Ik1 – 46∙Ik2 – 24∙Ik3 = 30

-46∙Ik1 + 122∙Ik2 – 15∙Ik3 = -30

-24∙Ik1 – 15∙Ik2 + 93∙Ik3 = -20

Решим систему с помощью определителей. Вычислим определитель системы ∆ и частные определители ∆1, ∆2, ∆3.

; ;

; .

Вычисляем контурные токи:

A;

A;

A.

Действительные токи ветвей:

I1 = Ik1 – Ik2 = 0.146 – (-0.217) = 0.363 A;

I2 = Ik3 = 0.212 A;

I3 = Ik1 = 0.146 A;

I4 = Ik1 – Ik3 = 0.146 – (-0.212) = 0.358 A;

I5 = -Ik2 = 0.217 A;

I6 = Ik3 – Ik2 = -0.212 – (-0.217) = 0.005 A.

1.1.3 Применение метода наложения.

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

а) Определяем частные токи от ЭДС Е2 при отсутствии ЭДС Е1, т. е. рассчитываем цепь по рисунку 1.2. Решаем задачу методом «свертки».

R101 = R1 + r01 = 45 + 1 = 46 Ом

В заданной электрической цепи сопротивления R3, R4 и R101 соединены в треугольник, который для упрощения преобразуем в звезду.

Определяем сопротивления:

Ом

Ом

Ом

R5B = R5 + RB = 75.431 Ом

R6C = R6 + RC = 25.823 Ом

Ом

Rэ = R5B6C + RA + R2 = 79.766 Ом

Ток источника

А

Вычисляем остальные токи ветвей:

А

А

А

А

А

 

 

Рисунок 1.2 − Схема линейной электрической цепи

постоянного тока без источника ЭДС E1

 

б) Определяем частные токи от ЭДС Е1 при отсутствии ЭДС Е2, т.е. рассчитываем простую цепь по рисунку 1.3.

Решаем задачу методом «свертки».

R202 = R2 + r02 = 53 + 1 = 54 Ом

В заданной электрической цепи сопротивления R3, R4 и R202 соединены в звезду, которую для упрощения преобразуем в треугольник.

Определяем сопротивления:

Ом

Ом

Ом

 

Рисунок 1.3 − Схема линейной электрической цепи

постоянного тока без источника ЭДС E2

 

Ом

Ом

R5∆16∆2 = R5∆1 + R6∆2 = 57.324 Ом

Ом

Rэ = R5∆16∆2∆3 + R1 = 76.556 Ом

Ток источника:

А

Вычисляем остальные токи ветвей:

А

А

А

А

А

Вычисляем токи ветвей исходной цепи (рисунок 1.1), выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:

I1 = -I'1 + I"1 = 0.364 A; I2 = I'2 – I"2 = 0.213 A;

I3 = I"3 – I'3 = 0.147 A; I4 = I'4 + I"4 = 0.359 A;

I5 = I'5 + I"5 = 0.217 A; I6 = I"6 – I'6 = 0.005 A.

 

1.1.4 Анализ результатов расчета с помощью баланса мощности

Источники E1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

E1∙I1 + E2∙I2 = I1²∙(R1 + r01) + I2²∙(R2 + r02) + I3²∙R3 + I4²∙R4 + I5²∙R5 + I6²∙R6

Подставляем числовые значения и вычисляем

30∙0.363 + 20∙0.212 = 0.363²∙46 + 0.212²∙54 +0.146²∙32 +0.358²∙24 +

+0.217²∙61 +0.005²∙15

10.896 + 4.245 = 6.068 + 2.432 + 0.686 + 3.087 + 2.867 + 0.0003

15.141 Вт = 15.140 Вт

С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.

 

1.1.5 Сравнение результатов расчета методами контурных токов и наложения.

Результаты расчета методами контурных токов и наложения сведены в таблицу 1.1.

Таблица 1.1

Ток в ветви Метод расчета	I1, A	I2, A	I3, A	I4, A	I5, A	I6, A
метод контурных токов	0.363	0.212	0.146	0.358	0.217	0.005
метод наложения	0.364	0.213	0.147	0.359	0.217	0.005

 

Расчет токов ветвей обоими методами с учетом ошибок вычислений практически одинаков.

1.1.6 Применение метода эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи.

Для решения задачи методом эквивалентного генератора разделим электрическую цепь на две части: потребитель (исследуемая ветвь с сопротивлением R2, в которой требуется определить величину тока) и эквивалентный генератор (оставшаяся часть цепи, которая для потребителя R2 служит источником электрической энергии, т.е. генератором). Получается схема замещения (рисунок 1.4).

 

 

Рисунок 1.4 − Схема замещения

 

На схеме искомый ток I2 определим по закону Ома для замкнутой цепи:

где Еэ – ЭДС эквивалентного генератора, ее величину определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода, Eэ = Uхх; rэ – внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, его величина

рассчитывается как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно исследуемых зажимов.

Изображаем схему эквивалентного генератора в режиме холостого хода (рисунок 1.5), т. е. при отключенном потребителе R2 от зажимов «a» и «б».

В этой схеме есть 2 контура, в которых текут токи режима холостого хода. Для нахождения токов Ik1x и Ik2x воспользуемся методом контурных токов. Составим систему уравнений по второму закону Кирхгофа:

Ik1x∙(R1 + r01 + R3+ R4) – Ik2x∙(R1 + r01) = E1

-Ik1x∙(R1 + r01) + Ik2x∙(R1 + r01 + R5 + R6) = -E1

 

Рисунок 1.5 − Схема эквивалентного генератора

в режиме холостого хода

 

Подставляем численные значения параметров в систему:

102∙Ik1x - 46∙Ik2x = 30

-46∙Ik1x + 122∙Ik3x = -30

Решая данную систему, получаем: Ik1x = 0.221 A, Ik2x = -0.163 A.

Зная Ik1x и Ik2x, величины сопротивлений и ЭДС, в схеме можно определить Uxx как разность потенциалов между клеммами «а» и «б». Для этого потенциал точки «б» будем считать известным и вычислим потенциал точки «а».

φ_а = φ_б + E2 – Ik1x∙R4 – Ik2x∙R6,

тогда

U_XX = φ_a – φ_б = E2 – Ik1x∙R4 – Ik2x∙R6 = 20–0.221∙24–(-0.163)∙15 = = 17.142 В.

Е_Э = U_XX = 17.142 В.

Для расчета внутреннего сопротивл ения эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник в пассивный (рисунок 1.6), при этом ЭДС Е1 и Е2 из схемы исключается, а внутренние сопротивления этих источников r01 и r02 в схеме остаются.

Вычисляем эквивалентное сопротивление схемы (рисунок 1.6) относительно зажимов «а» и «б».

 

Рисунок 1.6 − Схема пассивного двухполюсника

 

R101 = R1 + r01 = 45 + 1 = 46 Ом

В заданной электрической цепи сопротивления R101, R3 и R5 соединены в звезду, которую для упрощения преобразуем в треугольник.

Определяем сопротивления ребер треугольника:

Ом

Ом

Ом

Получаем преобразованную схему с тремя узлами (рисунок 1.7).

 

Рисунок 1.7 − Схема пассивного двухполюсника

с тремя узлами

Далее определяем эквивалентное сопротивление цепи:

Ом

Зная ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, вычисляем ток в исследуемой ветви:

А

Ток в этой ветви получился практически таким же, как и в пунктах 2 и 3.

 

1.1.7 Расчет и построение потенциальной диаграммы контура

Возьмем контур АBECDFА. Зададимся обходом контура по часовой стрелке. Заземлим одну из точек контура, пусть это будет точка А. Потенциал этой точки равен нулю φ_А=0 (рисунок 1.1).

Зная величину и направление токов ветвей и ЭДС, а также величины сопротивлений, вычислим потенциалы всех точек контура при переходе от элемента к элементу. Начнем обход от точки А.

φ_B = φ_A – I3∙R3 = -4.685 B

φ_E = φ_B – I1∙R1 = -21.029 B

φ_C = φ_E + E1 – I1∙r01 = 8.608 B

φ_D = φ_C – I6∙R6 = 8.539 B

φ_F = φ_D + I2∙R2 = 19.788 B

φ_A = φ_F – E2 + I2∙r02 = 0 B

Строим потенциальную диаграмму. По оси абсцисс откладываем сопротивления контура в той последовательности, в которой производим обход контура, прикладывая сопротивления друг к другу, по оси ординат – потенциалы точек с учетом их знака.

 

 

 

Рисунок 1.8 − Потенциальная диаграмма контура схемы,

включающего обе ЭДС

1.2. Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока

 

В электрической цепи, изображенной на рисунке А2, известны сопротивления R1 = 40 Ом, R2 = 22 Ом и входное напряжение U = 60 В. Построить входную вольтамперную характеристику схемы. Определить токи во всех ветвях схемы и напряжения на отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики.

Решение:

Расчет цепи производим графическим методом. Для этого в общей системе координат строим вольтамперные характеристики (ВАХ) линейных и нелинейных элементов: I = f(U1), I1 = f(U4), I1 = f(U3), I2 = f(U2), I3 = f(U2).

ВАХ линейных элементов строим по уравнению . Она представляет собой прямую, проходящую через начало координат.

Для определения координаты второй точки ВАХ линейного элемента R1 задаемся произвольным значением напряжения. Например, U_R = 40 В, тогда соответствующее значение тока A. Соединив полученную точку с началом координат, получим ВАХ линейного элемента.

Для определения координаты второй точки ВАХ линейного элемента R2 задаемся произвольным значением напряжения. Например, U_R = 44 В, тогда соответствующее значение тока A. Соединив полученную точку с началом координат, получим ВАХ линейного элемента

 

 

Далее строится общая ВАХ цепи с учетом схемы соединения элементов. В нашей цепи соединение элементов смешанное. Поэтому графически «сворачиваем» цепь. Начинаем с разветвленного участка с линейным элемент ом R1 и нелинейным элементом нэ3. Они соединены последовательно, их ВАХ I1 = f(U4) и I1 = f(U3). С учетом этого строим общую для них ВАХ. Для этого задаемся задаемся током и складываем напряжения при этом токе U2 = U4 + U3. Точка пересечения этих значений тока и напряжения дает одну из точек их общей ВАХ. В результате получаем множество точек и по ним строим ВАХ I1 = f(U2).

Далее мы имеем ветвь с нелинейным элементом нэ13 (I1 = f(U2)), нелинейным нэ2 (I3 = f(U2)) и линейным R2 (I2 = f(U2)), которые соединены параллельно. С учетом этого строим общую для них ВАХ. Для этого задаемся задаемся напряжением и складываем токи при этом напряжении I = I1 + I2 + I3. Проделываем это многократно. По полученным точкам строим ВАХ I = f(U2).

Теперь мы имеем характеристики нелинейных элементов нэ123 (I = f(U2)) и нэ1 (I = f(U1)), которые соединены между собой последовательно. Строим для них общую ВАХ. В данном случае задаемся током и складываем напряжения. Проделываем это многократно. По полученным точкам строим общую ВАХ цепи I = f(U).

Дальнейший расчет цепи производим по полученным графикам.

Чтобы найти токи и напряжения на всех элементах цепи, поступаем так: по оси напряжений находим значение напряжения, равное 60 В (точка «а»). Из этой точки восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с общей ВАХ I = f(U), получим точку «b». Из точки «b» опускаем перпендикуляр на ось тока (точка «с»). Отрезок «ос» дает нам искомое значение общего тока I = 1.6 А. Когда опускаем перпендикуляр из точки «b» на ось тока, то пересекаем ВАХ I = f(U1), I = f(U2) в точках «d» и «e» соответственно. Опустив из этих точек перпендикуляры на ось напряжений, получим U1 = 35 B, U2 = 25 B при I = 1.6 A. Когда опускаем перпендикуляр из точки «e» на ось тока, то пересекаем ВАХ I1 = f(U2), I2 = f(U2) и I3 = f(U2) в точках «N», «M» и «P» соответственно. Опуская перпендикуляры из этих точек на ось токов, получим токи I1 = 0.2 A, I2 = 1.1 A, I3 = 0.3 A. Когда опускаем перпендикуляр из точки «N» на ось тока, то пересекаем ВАХ I1 = f(U4) и I1 = f(U3) в точках «K» и «L» соответственно. Опуская перпендикуляры из этих точек на ось напряжения, получим напряжения на каждом участке цепи: U4 = 7 В и U3 = 18 B.

В результате имеем следующие значения токов и напряжений на всех элементах цепи: I = 1.6 А; I1 = 0.2 А; I2 = 1.1 A; I3 = 0.3 A; U1 = 35 В; U2 = 25 В; U3 = 7 В; U4 = 18 B.

 

 

 

Рисунок 1.9 − Вольтамперные характеристики элементов нелинейной электрической цепи постоянного тока

2. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА: ОДНОФАЗНЫХ И ТРЕХФАЗНЫХ

 

2.1 Расчет однофазных линейных электрических цепей переменного тока

 

К зажимам электрической цепи, схема замещения которой приведена на рисунке Б1, подключен источник синусоидального напряжения U = 54∙sin(ωt + 60°) В с частотой f = 50 Гц.

Параметры элементов схемы замещения: R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, L1 = 31.8 мГн, L2 = 50.9 мГн, С1 = 318 мкФ, С2 = 199 мкФ. Выполнить следующее:

1) определить реактивные сопротивления элементов цепи;

2) определить действующие значения токов во всех ветвях цепи;

3) записать уравнение мгновенного значения тока источника;

4) составить баланс активных и реактивных мощностей;

5) построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.

Решение:

1) Реактивные сопротивления элементов цепи:

Ом

Ом

Ом

Ом

 

 

2) Расчет токов в ветвях цепи выполняем методом эквивалентных преобразований.

Укажем направления токов в ветвях (рисунок 2.1):

 

 

Рисунок 2.1 − Схема линейной электрической цепи

постоянного тока

 

Представим схему, приведенную на рисунке 2.1, в следующем виде (рисунок 2.2):

 

Рисунок 2.2 − Схема замещения линейной электрической цепи

постоянного тока

 

Находим комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Ом

Выразим действующее значение напряжений в комплексной форме:

В.

Вычисляем токи ветвей и общий ток цепи:

А

В

А

А

А

3) Уравнение мгновенного значения тока источника:

А

4) Комплексная мощность цепи:

В∙А

где S_ист = 102.21 В∙А,

Р_ист = 72.35 Вт,

Q_ист = 72.2 вар (знак «+» определяет индуктивный характер нагрузки в целом).

Активная Р_пр, и реактивная Q_пр мощности приемников:

Вт

вар

Баланс мощностей выполняется:

Р_ист = Р_пр; Q_ист = Q_np

5) Напряжения на элементах схемы замещения цепи:

U_ab = I·R1 = 26.90 B;

U_bc = U234 = 0.06 B;

U_cd = I1· X_L1 = 26.90 B;

U_be = I1·X_L2 = 42.90 B;

U_ed = I1·X_C2 = 42.96 B.

6) Строим топографическую векторную диаграмму на комплексной плоскости. Выбираем масштаб: M_I = 0.25 А/см, М_U = 8 В/см.

Определяем длины векторов токов и напряжений:

см; см;

см; см;

см; см;

см; см;

см; см.

На комплексной плоскости, и зображенной на рисунке 2.3, в масштабе откладываем векторы токов в соответствии с расчетными значениями. При этом положительные фазовые углы отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке.

Топографическая векторная диаграмма напряжений характерна тем, что каждой точке диаграммы соответствует определенная точка электрической цепи. Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно векторов тока: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90°, а на емкостном напряжение отстает от тока на 90°.

 

 

 

 

Рисунок 2.3 − Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

на комплексной плоскости

2.2 Расчет трехфазных линейных электрических цепей переменного тока

В цепи, изображенной на рисунке Б2, потребители трехфазного тока соединены треугольником.

Известно линейное напряжение U_Л = 34 В и сопротивления фаз: R_AB = 40 Ом, R_BC = 75 Ом, R_CA = 50 Ом, X_LAB = 60 Ом, X_CBC = 25 Ом.

Определить полные сопротивления фаз, фазные и линейные токи и ток в нейтральном проводе, активную, реактивную и полную мощности каждой фазы и всей цепи в номинальном режиме и при обрыве провода фазы В.

Решение:

При соединении трехфазной цепи треугольником расчет будем вести символический методом.

1. Модули фазных напряжений при соединении треугольником равны линейным напряжениям

U_Л = U_AB = U_BC = U_CA = 34 В.

Комплексы данных напряжений запишем из условия, что вектор совмещен с действительной осью комплексной плоскости,

В;

В;

В;

2. Вычислим комплексы фазных сопротивлений:

Перед этим найдем реактивные сопротивления элементов цепи.

Ом

Ом

 

 

Ом,

Ом,

Ом,

3. Определяем фазные токи:

A,

A,

A,

4. Находим линейные токи из уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа для узлов А, В, С:

A;

A;

A;

5. Вычисляем мощности фаз и всей цепи:

В∙А,

В∙А,

В∙А,

B∙A,

где S = 49.9 B∙A; P = 49.8 Вт; Q = 3.32 вар.

6. Строим в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов.

Векторы фазных токов , , строятся под углами ψ_АB, ψ_BC, ψ_CA к действительной оси. К концам векторов , , пристраиваются отрицательные фазные токи согласно уравнениям:

Замыкающие векторные треугольники векторов , , представляют в выбранном масштабе линейные токи.

Выбираем масштаб: M_I = 0.25 А/см.

см; см; см;

 

Рисунок 2.4 − Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

на комплексной плоскости в нормальном режиме

 

7. При обрыве провода фазы В режим работы фазы СА, включенной между исправными проводами, не изменится (рисунок 2.5). Две другие фазы окажутся включенными последовательно на линейное напряжение U_CA. Трехфазная цепь превращается в однофазную цепь с двумя параллельными ветвями.

Найдем теперь значения для образовавшейся фазы СВА, полученной из последовательно включенных фазных цепей АВ и ВС, включенной под линейное напряжение U_CA параллельно фазе СА.

По закону Ома посчитаем действующее значение силы тока, а также полное сопротивление в фазе СВА:

 

 

Рисунок 2.5 − Схема трехфазной линейной электрической цепи

переменного тока при обрыве фазного провода

 

Ом

A,

A,

A,

Так как токи в линейных проводах А и С равны, то найдем их значение:

A,

A,

Определим значения напряжений на участках АВ и ВС:

A,

A

8. Вычисляем мощности фаз и всей цепи:

В∙А,

В∙А,

В∙А,

B∙A,

где S = 29.1 B∙A; P = 28.4 Вт; Q = -6.3 вар.

9. Строим в масштабе векторную диаграмму напряжений и токов.

Векторы фазных токов , , строятся под углами ψ_АB, ψ_BC, ψ_CA к действительной оси. К концам векторов , , пристраиваются отрицательные фазные токи согласно уравнениям:

Замыкающие векторные треугольники векторов , , представляют в выбранном масштабе линейные токи.

Выбираем масштаб: M_I = 0.25 А/см.

см;

см;

см;

 

 

Рисунок 2.6 − Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений

на комплексной плоскости при обрыве фазного провода

3 ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

 

Электрическая цепь содержит катушку с сопротивлением R = 50 Ом и индуктивностью L = 0.5 Гн, напряжение источника питания U = 110 В.

Определить закон изменения тока и ЭДС самоиндукции в цепи. Определить практическую длительность переходного процесса и энергию магнитного поля при t = 3τ.. Схема цепи приведена на рисунке Б3.