ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ. Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси под действием силы тяжести

6. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для студ. вузов – М.: Высшая школа, 2007. – 479 с.

Кафедра физики

 

 

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

 

Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси под действием силы тяжести. Расстояние от оси вращения О до центра тяжести маятника С называется длиной физического маятника (рис.1).

 

Пусть маятник массой m и длиной l отклонен от положения равновесия на угол a. Движение физического маятника описывается основным законом динамики вращательного движения, который для абсолютно твердого тела имеет вид

М=J e, (1)

где М – момент внешних сил;

-- угловое ускорение движения маятника, которое характеризует быстроту изменения угловой скорости по времени, и равно второй производной от угла поворота по времени;

J – момент инерции тела относительно оси вращения О.

Момент инерции маятника выразим, используя теорему Штейнера. Согласно данной теореме момент инерции твердого тела J относительно произвольной оси складывается из момента инерции Jс относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями

 

J=J_с+ml ². (2)

 

В нашем случае J_с – момент инерции относитльно оси, проходящей параллельно оси вращения через центр тяжести маятника С.

Момент внешних сил М складывается из момента силы тяжести и момента сил трения, которым в нашем рассмотрении можно пренебречь, т.е. считать, что М _тр=0. Момент силы тяжести равен произведению силы тяжести mg на расстояние от линии действия силы до оси вращения l sina (плечо силы, рис.1)

 

М _тяж = - mgl sina. (3)

 

Знак минус показывает, что момент силы направлен противоположно углу отклонения маятника от положения равновесия, т.е является возвращающим моментом.Подставив (3) в (1), получим

.

 

Это уравнение, справедливое для любых значений амплитуды колебаний физического маятника, можно упростить для случая малых колебаний, когда угол отклонения маятника от положения равновесия мал и можно положить sina»a. Тогда уравнение движения маятника принимает вид

(4)