Вопрос 1. Затухание колебаний в системах с вязким трением. 1. Гребенев А.Л. Пропедевтика внутренних болезней

1. Гребенев А.Л. Пропедевтика внутренних болезней. - М.: Медицина, 2001. – С. 290-424.

2. Мухин. Н.А., Моисеев В.С. Пропедевтика внутренних болезней. – М.: ГЭОТАР – Медиа, 2005. – С. 411-522.

3. Гребенев А.Л., Шептулин А.А. Непосредственное исследование больного. – М.: МЕДпресс-информ, 2001. – С. 180-253.

4. Пропедевтика внутренних болезней./ В. Х. Василенко, А.Л. Гребенев; под ред. В.Х. Василенко. - М.: Медицина, 1989. – С. 329-458.

5. Руководство к практическим занятиям по пропедевтике внутренних болезней. Расспрос и физические методы исследования. О.Г. Довгялло и др.: - Минск, «Вышэйшая школа», 1986. – С. 15-21, 146-180.

6. Практические навыки терапевта: Практическое пособие для мед. институтов /Г.П. Матвейков, Н.И. Артишевская, Л.С. Гиткина и др.; под общ. ред. Г.П. Матвейкова. – Мн.: Выш.шк., 1993. – С. 124-132, 221-227, 229-230, 377-386, 401-404.

7. Лекционный материал.

 

 

Заведующий кафедрой, доцент Л.В. Романьков

 

Дата

 

Вопрос 1. Затухание колебаний в системах с вязким трением.

Рассмотрим колебательную систему, в которой действует сила вязкого трения. Примером такой колебательной системы может служить математический маятник, совершающий колебания в воздушной среде.

В этом случае при выведении системы из положения равновесия на маятник будут действовать две силы: квазиупругая сила и сила сопротивления (сила вязкого трения). Второй закон Ньютона запишется следующим образом:

 

Мы знаем, что при малых скоростях сила вязкого трения пропорциональна скорости движения:

 

Знак «-» указывает на то, что сила вязкого трения всегда направлена против скорости движения тела.

Тогда выражение (1) в проекции на ось ОХ, вдоль которой происходят колебания, будет выглядеть следующим образом:

Учтем, что проекция скорости есть первая производная от координаты тела, а проекция ускорения – вторая производная от координаты:

Тогда уравнение (2) примет вид:

Разделив все члены уравнения на m и обозначив

получим уравнение движения в следующем виде:

d - коэффициент затухания, он зависит от коэффициента трения r,

w₀ - циклическая частота идеальных колебаний (в отсутствие трения).

 

Прежде чем решать уравнение (3), рассмотрим колебательный контур. Активное сопротивление катушки включено последовательно с емкостью С и индуктивностью L.

Запишем второй закон Кирхгофа

 

Учтем, что

, , .

Тогда второй закон Кирхгофа примет вид:

 

 

Разделим обе части уравнения на :

 

 

Введем обозначения

 

Окончательно получаем

Обратите внимание на математическую тождественность дифференциальных уравнений (3) и (3’). В этом нет ничего удивительного. Мы уже показывали абсолютную математическую тождественность процесса колебания маятника и электромагнитных колебаний в контуре. Очевидно, процессы затухания колебаний в контуре и в системах с вязким трением происходят тоже одинаково.

 

Решив уравнение (3), мы получим ответы на все поставленные выше вопросы.

 

Уравнение (3) можно привести к уравнению гармонических колебаний, применив подстановку

Тогда уравнение (3) примет вид

Если d² < w₀², то величина w₀² - d² > 0, ее можно обозначить w² = w₀² - d². Получаем знакомое уравнение гармонических колебаний.

Решение этого уравнения нам известно

Тогда для искомого уравнения (3) получаем окончательный результат

Нетрудно видеть, что заряд конденсатора в реальном колебательном контуре будет изменяться по закону

Анализ полученного результата:

 

1. В результате совместного действия квазиупругой силы и силы сопротивления система может совершать колебательное движение. Для этого должно выполняться условие w₀² - d² > 0. Иными словами, трение в системе должно быть невелико.

2. Частота затухающих колебаний w не совпадает с частотой колебаний системы в отсутствие трения w² = w₀² - d² < w₀². С течение времени частота затухающих колебаний остается неизменной.

3. Если коэффициент затухания d мал, то частота затухающих колебаний близка к собственной частоте w₀. При d² ® w₀² частота уменьшается, а период возрастает до бесконечности. При d² >w₀² колебаний не возникает: система, выведенная из положения равновесия, медленно (апериодически) возвращается в положение равновесия.

4.

Амплитуда затухающих колебаний, как это и было предсказано ранее, уменьшается с течением времени.

Это убывание амплитуды происходит по экспоненциальному закону.

5. Если w₀² - d² < 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

где . Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция (4) действительно является решением уравнения (3). Очевидно, что сумма двух экспоненциальных функций не является периодической функцией. С физической точки зрения это означает, что колебания в системе не возникнут. После выведения системы из положения равновесия она будет медленно в него возвращаться. Такой процесс называется апериодическим.

 

 

или

 

 

Вопрос 2. Как быстро затухают колебания в системах с вязким трением?