Характеристики затухания

Кроме коэффициента β затухание характеризуют и другими величинами:

1. Время релаксации τ — это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из выражения а = а ₀е^{-β t} вид­но, что

τ = 1/β. (3.8)

Интервал времени τназывают также постояннойвремениосциллятора. Это оценка времени, в течение которого продолжается процесс свободных колебаний осциллятора, выведенного из положения равновесия. Разумеется, по истечении времени τколебания продолжаются, но амплитуда, спадая по экспоненциальному закону, становится столь малой, что практически можно полагать, что колебания прекратились (скажем, через промежуток времени 5/βамплитуда падает более чем в 100 раз).

2. Логарифмический декремент затухания. Его определяют как

, (3.9)

где Т — период затухающих колебаний. λ показывает, на сколько изменяется амплитуда колебаний за 1 период. Например, при λ = 0,01 амплитуда ко­лебаний изменяется за 1 период приблизительно на 1%. Из предыдущих двух формул следует, что

λ = 1/ N _e, (3.10)

где N _e — число колебаний за время τ, в течение которого амп­литуда уменьшается в е раз.

При малом затухании (β << ω₀) λ характеризует относитель­ное уменьшение амплитуды колебаний за период. Это следует из (3.9), поскольку в этом случае

, (3.11)

Кроме того, при β << ω₀ относительное уменьшение энергии колебаний за период, согласно (3.7), равно δ Е/Е = 2β Τ = 2λ, откуда

λ = δ Е/ 2 Е. (3.12)

3. Добротность осциллятора. По определению,

Q = π / λ = π N _e. (3.13)

Эту величину применяют для характеристики чувствительности колебательной системы к резонансным воздействиям.

При малом затухании (β << ω₀), когда справедливо (3.12),

Q ≈ 2π Ε / δ Ε. (3.14)

В заключение отметим, что анализ формулы (3.4) приводит к выводу: затухающие колебания возможны при условии β < ω₀, а при достаточно большом затуха­нии (β ≥ ω₀) система совершает апериодическое движение: выведенная из положения равновесия, она возвращается в это поло­жение, не совершая колебаний.