Часть 1. Методические указания и варианты заданий на контрольную работу

 

 

Методические указания и варианты заданий на контрольную работу

для студентов заочной формы обучения всех специальностей

 

 

Краснодар

ЗАДАНИЕ № 1

Рабочее задание:

Варианты заданий приведены в Приложении 1.

1. По заданным значениям ЭДС и параметрам элементов рассчитайте то­ки во всех ветвях цепи методом контурных токов.

2. Проверьте правильность расчета путем составления баланса мощно­сти.

3. Рассчитать потенциалы и построить потенциальную диаграмму для внешнего контура.

 

УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТОВ

 

При расчете электрических цепей этим методом в основе лежит II закон Кирхгофа, который гласит: алгебраическая сумма ЭДС, действующих в кон­туре, равна алгебраической сумме падений напряжений в том же контуре:

или алгебраическая сумма напряжений в контуре равна нулю

При расчете цепей методом контурных токов предполагается, что в каждом контуре протекает независимый расчетный ток, который называется контур­ным.

При расчете методом контурных токов количество уравнений определя­ется числом независимых контуров или по формуле:

p = m - (n - 1),

где m – число ветвей, n – число узлов.

Ветвь – участок цепи, в любом сечении которого течет один и тот же ток.

Узел – точка цепи соединения 3-х и более ветвей.

Контур – любой путь вдоль электрической цепи, начинающийся и за­канчивающийся в одной и той же точке. Контур электрической цепи, содер­жащий хотя бы один элемент, принадлежащий только ему, называется незави­симым.

При расчете рекомендуется соблюдать следующую последовательность:

1. Выделить независимые контуры.

2. На схеме указать номера независимых контуров и указать направление их обхода (направление обхода всех контуров лучше выбирать одним и тем же).

3. Указать направления контурных токов в каждом независимом контуре
(чтобы избежать ошибок направления контурных токов должны сов­
падать с направлением обхода контуров).

4. Для всех независимых контуров составить уравнения по второму зако­
ну Кирхгофа: ЭДС считаются положительными, если их направление совпадает с направлением обхода контура; падение напряжения I _{К i}R_i считается положительным, если направление контурного тока сов­падает с направлением обхода контура.

5. Решить составленную систему линейных уравнений.

6. Произвести проверку правильности решения системы линейных урав­нений.

7. По вычисленным значениям контурных токов найти величины токов в ветвях и их направление: ток и его направление в наружной ветви со­ответствует контурному току; ток в смежных ветвях определяем, как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих в этой ветви, и его направление будут совпадать с направлением большего контурно­го тока.

8. Составить баланс мощностей.

9. Рассчитать потенциалы всех точек внешнего контура, в которых со­единяются два любых его элемента.

10.Построить потенциальную диаграмму для внешнего контура.

11.На схеме указать направления рассчитанных токов в ветвях и значения потенциалов точек внешнего контура.

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

 

Рассмотрим алгоритм решения на примере цепи изображенной на рисун­ке 1.

Если по условию задачи внутренним сопротивлением источников (r₀₁, r₀₂ т. д.) пренебречь нельзя, и они заданы, то их необходимо ввести в расчетную схему, включая последовательно с соответствующим источником.

1. По признакам, данным в определении независимого контура, можно

выделить следующие независимые контуры: a-b-c-g-a (контур I), c-d-e-g-c (контур II), a-g-e-f-a (контур III).

Рис. 1. Расчетная схема

 

2. Направление обхода указывается стрелкой снаружи схемы. Направле­ние обхода по контурам выбрали совпадающим с направлением движения ча­совой стрелки.

3. Направления контурных токов в независимых контурах выбрали таки­ми же, как и направления обхода контуров, т.е. по часовой стрелке.

4. По второму закону Кирхгофа для каждого независимого контура
составляем уравнения (ЭДС считаются положительными, если их направление совпадает с направлением обхода контура; падение напряжения I_КiR_i счита­ется положительным, если направление контурного тока совпадает с направ­лением обхода контура). Обратите внимание, что в смежных ветвях проте­кают два контурных тока, причем они направлены в разные стороны:

Сгруппировав слагаемые, получим систему уравнений:

(1) (2) (3)

5. Полученная система уравнений может быть решена любым извест­ным методом. Не рекомендуется вести решение подстановкой, так как при этом ошибки допускаются чаще, чем при решении другими способами.

 

Для удобства записи введем следующие обозначения:

 

Тогда систему линейных уравнений можно переписать следующим образом:

При ручном расчете решение полученной системы уравнений можно найти по формулам Крамера:

где

 

Для вычисления определителя третьего порядка удобно приписать к нему справа два первых столбца, тогда произведения элементов, вычеркнутых в таб­лице сплошной линией, будут складываться, а произведения элементов, вы­черкнутых пунктирной линией, вычитаться, например для вычисления Δ;:

 

Δ₁, Δ₂, Δ₃ вычисляются аналогично.

При составлении таблиц элементов и вычислении определителей следите за знаками элементов и знаками их произведений.

При расчете на ЭВМ составляется матрица коэффициентов:

Если в исходных уравнениях некоторые неизвестные контурные токи отсутст­вуют, в матрицу коэффициентов проставляются соответствующие нули.

6. После вычисления контурных токов проведите первую проверку правильности расчета. Исходные уравнения должны превращаться в тождество при подстановке в них полеченных значений контурных токов.

Рис. 2. Расчетная схема после расчета контурных токов

 

Значения контурных токов, полученные в результате расчета, могут быть положительными и отрицательными. Если контурный ток получился отрицательным, то меняем его направление на схеме на противоположное. При этом контурный ток, протекающий через резисторы, так же меняет направление (рис. 2). Допустим контурные токи I_k1, I_k2 положительные, а контурный ток I_k3 - от­рицательный. На схеме (рис. 2) направления контурных токов I_k1, I_k2 оставля­ем прежними, а направление контурного тока I_k3 меняем на противополож­ное. Следовательно, токи в наружных ветвях цепи (в нашем примере на рис. 2 ветви E₁-R₁, E₂-R₂, E₄-R₄) равны по величине и направлению соответствующим контурным токам. На схеме около каждого резистора укажите действительное направление тока в нем. Номер тока указывается в соответствии с номером ре­зистора.

В смежных ветвях, принадлежащих одновременно двум контурам (в на­шем примере ветви E₃-R₃, R₅, R₆), протекают одновременно по два контурных тока. Поэтому действительные токи в ветвях определяют как алгебраиче­скую сумму контурных токов протекающих по этим ветвям (см. рис. 2). Ес­ли контурные токи в резисторе направлены в противоположные стороны, то для нахождения действительных значений токов в этих ветвях необходимо из большего контурного тока, протекающего в данной ветви, вычесть меньший контурный ток, протекающий в этой же ветви, и принять направление большего контурного тока. Если контурные токи направлены в одну и ту же сторону, то для определения тока в ветви их необходимо сложить и направление получен­ного тока будет совпадать с направлением этих расчетных контурных токов.

Допустим, что , причем I_k1, I_k2, положительные, а I_k3 - отрицательный, тогда токи в ветвях будут равны:

На схеме указываем направления токов в ветвях:

Рис. 3. Расчетная схема после расчета токов в ветвях

7. Правильность расчета проверяют, составляя баланс мощностей. Со­гласно закону сохранения энергии, мощность отдаваемая источниками, должна быть равна мощности, поглощаемой приемниками, т. е.:

Перед произведением EI знак «+» ставится, если направление тока совпа­дает с направлением ЭДС. Знак «-», если направление тока не совпадает с направлением ЭДС.

Если равенство выполняется, то расчет правильный. При правильно рассчитан­ных токах расхождение мощностей не должно превышать 2%.

8. Потенциалы всех точек внешнего контура, в которых соединяются два любых элемента, рассчитываются относительно точки, потенциал которой принят равным нулю.

Рис. 4. Внешний контур расчетной схемы

 

Пусть такой точкой в нашем примере будет точка а. Допустим, что в ре­зультате расчета были найдена токи и их направления, указанные на рис. 4. При расчете потенциалов следует иметь в виду, что в пассивном элементе (ре­зисторе) стрелка тока указывает направление уменьшения потенциала. Поэтому при переходе через резистор потенциал понижается на величину падения напряжения (I_iR_i) на резисторе, если направление тока в нем сов­падает с направлением обхода контура. Если это условие не выполняется, потенциал повышается на величину падения напряжения ( I_iR_i ) на резисторе.

При переходе через источник энергии с ЭДС Е_i потенциал скачком уве­личивается на величину ЭДС источника Е_i, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура (источник идеальный и не обладает внутренним сопротивлением). Стрелка ЭДС указывает направление увеличения потенциала. Если направление ЭДС не совпадает с направлением обхода, то потенциал скачком уменьшается на величину ЭДС.

В нашем случае (рис. 4) примем:

- направление ЭДС Е₁ совпадает с направлением обхода кон­тура;

- направление тока I₁ совпадает с направлением обхода кон­тура;

- направление ЭДС Е₂ не совпадает с направлением обхода контура;

- направление тока I₁ совпадает с направлением обхода кон­тура;

- направление ЭДС Е ₁ совпадает с направлением обхода конту­ра;

- направление тока I₄ не совпадает с направлением обхода контура.

Потенциальная диаграмма строится в прямоугольной системе коор­динат, в которой по горизонтальной оси откладываются значения сопротивле­ний между i точкой контура и точкой, потенциал которой принят равным нулю. По вертикальной оси откладываются значения потенциалов соответствующих точек. Оцифровка осей должна быть равномерной, а оси должны иметь на­именование с указанием размерностей.

 

Рис. 5. Потенциальная диаграмма внешнего контура расчетной цепи

 

Так как, φ_а=0, точку а расположим в начале координат. Поскольку сопро­тивление между точками а и b равно нулю, то потенциал φ_а возрастает скачком (рис. 5). Координаты точки с определяются величиной рассчитанного потен­циала φ_с и сопротивлением участка a-b-c, которое равно R₁ (см. рис. 4).

От точки с до точки d уменьшается скачком, т. к. сопротивление участка a-b-с-d остается равным R₁ (см. рис. 4).

Координаты точки е определяются величиной потенциала φ_е и сопротив­лением участка a-b-с-d-е, которое, как видно из рисунка 4, равно R₁+R₂.

В точке f возрастает скачком, т. к. сопротивление участка a-b-с-d-е-f оста­ется равным R₁+R₂ (см. рис. 4).

Завершается построение диаграммы точкой а, координаты которой опре­деляются теперь величиной потенциала φ_a и сопротивлением контура a-b-с-d-е-f-а, которое равно R₁+R₂+R₄ (рис. 4). При построении диаграммы необходимо указать градуировку (оцифровку) каждой оси.