Эффект Холла и основные теоретические соотношения.

Рассмотрение эффекта Холла проведем для слабого магнитного поля. Рассмотрим качественно действие магнитного поля В на полупроводник, по которому протекает электрический ток. Пусть магнитное поле перпендикулярно направлению движения зарядов, а образец имеет вид параллелепипеда с поперечным сечением с×b (рисунок1). Электрическое поле Е_x направлено вдоль оси x, магнитное B_y— вдоль оси y. На носитель заряда, движущийся с дрейфовой скоростью V, будет действовать сила Лоренца (1). Скорость V вычисляется по формуле

V = ± m× e = e×<t>× e /m^* (6)

поэтому F = e²×<t>×[ e ´ B ]/m^* (7)

Из уравнения (7) следует, что направление силы Лоренца не зависит от знака носителя заряда, а определяется направлением векторов e и B. Значит, если скорость носителей заряда определяется электрическим полем, то электроны и дырки под действием силы Лоренца отклоняются в одну и ту же сторону. Под действием этой силы дырки в акцепторном полупроводнике и электроны в донорном полупроводнике будут отнесены к верхней поверхности образца, вследствие чего на нижней поверхности возникнет их дефицит, что обусловит противоположный по знаку заряд по отношению к заряду на верхней поверхности, как показано на рисунках 1 и 2. EH - холловское поле, которое препятствует дальнейшему разделению зарядов. Процесс разделение прекратится когда

F_EH + F_Л = 0

Явление возникновения поперечной напряжённости электрического поля в полупроводнике вследствие отклонения электронов или дырок проводимости, создающих электрический ток плотностью j в поперечном магнитном поле с индукцией B, называется эффектом Холла. Поле Е_H носит название поля Холла, а соответствующая э. д. с. ЭДС Холла. Направление вектора напряжённости поля Холла зависит от знака носителей заряда. В стационарном состоянии сила электрического поля Холла q×Е_H уравновесит магнитную силу Лоренца F_b:

 

q× Е_H = q×Е_x + q×[ V ´ B ] (8)

Для электронного полупроводника:

E_Hn = R_n× j × B (9)

Для дырочного полупроводника:

E_Hр = - R_p× j × B (10),

где R_p,n — коэффициенты Холла.

 

Из этой формулы путем преобразований находим ЭДС Холла U_H:

U_H = R× I × B /b (11)

Здесь b — толщина образца в направлении магнитного поля B_x.

В полученных выражениях не было учтено статистическое распределение носителей заряда по скоростям. Строгое математическое описание эффекта Холла в слабых магнитных полях для полупроводника со смешанной проводимостью основано на решении кинетического уравнения Больцмана и приводит к следующему выражению для напряжённости Холловского поля Е_H:

E_H = A×(p×m_p×m_p - n×m_n×m_n)×j×B/q×(p×m_p + n×m_n)×(p×m_p + n×m_n) (12),

где А — постоянная, зависящая от механизма рассеяния носителей заряда в полупроводнике.

R = A×(p×m_p×m_p - n×m_n×m_n)/q×(p×m_p + n×m_n)×(p×m_p + n×m_n) (13)

 

В случае носителей заряда одного знака выражение (13) упрощается:

Для электронного полупроводника: R_n = - A/q×n

(14)

Для дырочного полупроводника: R_p = A/q×p

Для собственного полупроводника (n=p=n_i): R=A×(m_p - m_n) / (m_p + m_n) (15)

По знаку коэффициента Холла R можно судить о знаке носителей заряда в данном материале. В случае смешанной проводимости знак коэффициента Холла определяется соотношением концентрации и подвижностей дырок и электронов (14). В собственном полупроводнике (n=р) коэффициент Холла чаще всего отрицателен из-за большей подвижности электронов, чем дырок.

Из (14) видно, что зная коэффициент Холла можно с точностью до коэффициента А определить концентрацию носителей заряда в примесном полупроводнике. Коэффициент А в зависимости от механизма рассеяния может принимать различные значения. Для рассеяния на акустических колебаниях решётки он равен 3π/8, для рассеяния на ионах примеси — 315π/512, для рассеяния на нейтральной примеси равен единице. Практически всегда имеет место комбинация нескольких механизмов рассеяния одновременно, и поэтому бывает сложно определить коэффициент А. Зная для одного и того же образца коэффициент Холла и электропроводность σ = e×n×μ, можно вычислить холловскую подвижность носителей тока:

μ_H = ½R½×σ (16)