Отец Фракталов

Вплоть до 20 века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой-либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт – отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал.

Рис. 2. Бенуа Мандельброт.

Работая в IBM математическим аналитиком, он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставляя факты, он пришел к открытию нового направления в математике – фрактальной геометрии.

Термин «фрактал» Б.Мандельброт ввёл в 1975 г.. Согласно Мандельброту, фракталом (от лат. «fractus» – дробный, ломанный, разбитый) называется структура, состоящая из частей, подобных целому. Свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии. Термин самоподобие означает наличие тонкой, повторяющейся структуры, как на самых малых масштабах объекта, так и в макромаштабе.

Рис. 3. К определению понятия «фрактал».

Примерами самоподобия служат: кривые Коха, Леви, Минковского, треугольник Серпиньского, губка Менгера, дерево Пифагора и др.

С математической точки зрения, фрактал – это, прежде всего, множество с дробной (промежуточной, «не целой») размерностью. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая выходит за пределы одномерного пространства, вторгается за границы в двумерное пространство.Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха будет находиться между 1 и 2. Это, прежде всего, означает, что у фрактального объекта невозможно точно измерить его длину! Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый – снежинка Коха.

Рис. 4. К определению понятия «фрактал».

Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длиной в 1/3 исходной. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций – получим фрактал – снежинку Коха бесконечной длины. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь. Попробуйте сделать то же самое методами и фигурами из евклидовой геометрии.
Размерность снежинки Коха (при увеличении снежинки в 3 раза ее длина возрастает в 4 раза) D=log(4)/log(3)=1.2619.