Степень устойчивости и степень колебательности.

Степень устойчивости и степень колебательности.

К корневым оценкам относятся степень устойчивости и степень колебательности.

Степень устойчивости численно равна абсолютному значению действительной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 3).

Рис. 3. К определению степени устойчивости

Система обладает достаточным запасом устойчивости, если достаточно велико. Запишем уравнение переходного процесса (дви­жения системы):

. (44) Если , то

, (45) где .

Степень устойчивости характеризует интенсивность затухания переходного процесса (рис. 4).

Рис. 4. Интерпретация степени устойчивости

Наименьшему по абсолютной величине корню соответствует наиболее медленно затухающая составляющая переходного процесса.

Связь степени устойчивости с быстродействием

Пусть за время t_p составляющая переходного процесса от значения h₁(0)=C₁ уменьшилась в m раз (рис.5).

; ; (46) ; (47) ; (48) . (49)

Рис. 5. К связи степени устойчивости с быстродействием

Увеличению времени t_p при m=const соответствует уменьшение . Чем больше , тем быстрее затухает процесс.

Степень колебательности. Из начала координат проведём лучи через два комплексно сопряжённых корня так, чтобы все остальные корни оказались между этими лучами (рис. 6).

Рис. 6. К определению степени колебательности

Степенью колебательности называется отношение

. (50) Из рис. 6 следует, что . (51)

Чем больше m, тем быстрее затухает колебательный процесс. Степень колебательности характеризует запас устойчивости системы.

Если на систему накладывается требование , то это означает, что все корни характеристического уравнения системы должны находиться внутри заштрихованного сектора.

Для системы второго порядка с двумя комплексными сопряженными корнями уравнение движения

. (52)

Найдём связь степени колебательности и степени затухания. В выражение степени затухания (52) подставим:

, (53) , (54)

. (55)

Заметим, что для систем более высокого (>2) порядка соотношение (55) является приближённым. Степень его достоверности повышается в тех случаях, когда пара комплексных сопряжённых корней, определяющая m, имеет вещественную часть, значительно отличающуюся от вещественной части остальных корней.