ГУ- геометрические условия примитива, воспринимаемые на глаз .
Необходимо, чтобы параметрическое число контура было минимальным, но достаточным для воспроизводства контура. Разобъем плоский контур, состоящий из прямых и дуг окружностей (Рис.1) на примитивы. В контур входят дуги четырех окружностей: О1, О2, О3, О4. При этом за окружность О4 нулевого радиуса примем точку. Кроме этого, в контур входят две прямые линии П1 и П2. Окружности О1, О2, О4 можно принять за сопрягаемые элементы. А остальные элементы контура – за сопрягающие элементы. В качестве базы отсчета параметров введем декартову систему координат. Рассмотрим общий случай, выбрав систему координат вне связи с параметризируемым плоским контуром.
Рис.1. Параметризируем сопрягаемые элементы О1, О2, О4 вне связи с другими фигурами, входящими в контур. Посколькуокружность в пространстве R2 имеет åП=3, то для каждой окружности необходимо два параметра положения (x; z) и один параметр формы – величина радиуса/диаметра. Мы имеем две сопрягаемые окружности О1, О2: ПП=2; ПФ=1; ГУ=0; åП(O1)=2+1-0=3; åП(O2)=2+1-0=3. Окружность О4 – точка, которая не имеет параметра формы. ПП=2; ПФ=0; ГУ=0; åП(O4)=2+0-0=2. Суммарное параметрическое число этих элементов åП=8. Реализуем восемь необходимых параметров на чертеже в виде размерных линий (Рис.2). Поскольку формы и, следовательно, величины прямая не имеет, необходимо два параметра положения для однозначного определения прямых в пространстве R2 , однако геометрическое условие касания прямой к окружности позволяет уменьшить число параметровна единицу. Точка касания может быть отнесена только к одному из участвующих в касании изображений.
Рис.2 i В том случае, когда одно и то же условие действует на два смежных элемента композиции, его необходимо отнести только к одному из элементов С точки зрения практики, геометрическое условие выгоднее относить к прямой, поскольку реализация параметров прямых размерами несколько сложнее, чем окружностей. Для построения прямой П1 (Рис.1) параметры не нужны, поскольку вводится два геометрических условия касания к O1 и О2, т.е. эта касательная может быть построена по известному алгоритму конструктивной геометрии при помощи чертежных инструментов без использования дополнительных параметров (Рис. 3а). ПП=2; ПФ=0; ГУ=2; åП(П2)=2+0-2=0. Для построения прямой П2 (Рис. 1) параметры также не нужны, поскольку вводится два геометрических условия касания к O1 и О4, и действует соответствующий алгоритм построения, показанный на рис. 3б. ПП=2; ПФ=0; ГУ=2; åП(П1)=2+0-2=0.
а) б) Рис.3. Дуга окружности О3 сопрягает точку О4 и окружность О2. Положение центра окружности найдется известным приемом при известном параметре формы - радиусе R3 (Рис.4). Таким образом, единственным параметром для выделения О3 остается параметр формы радиус R3. ПП=2; ПФ=1; ГУ=2; åП(П2)=2+1-2=1. Итак, в данной системе отсчета для вычерчивания, а значит, для изготовления контура, необходимо задать 9 параметров: åП=9 (Рис.5).
Рис.4
Рис.5.
Попробуем выбрать систему параметризации, реализующую только параметры формы и величины контура. У данной фигуры оси декартовой системы координат можно провести через центры окружностей О1, О2, О4 (внутренняя система параметризации) (Рис.6). Если учесть теперь условия инцидентности центров окружностей О2 и О4 осям, два условия инцидентности центра О1 - оси 0x и оси 0z, то число параметров сократится на четыре.
Рис.6. åП(O1)=2+1-2=1; ПП=2; ПФ=1; ГУ=2; å П (O2)=2+1-1=2; ПП=2; ПФ=1; ГУ=1; å П (O3)=2+1-2=1; ПП=2; ПФ=1; ГУ=2; å П (O4)=2+0-1=1; ПП=2; ПФ=0; ГУ=1; å П (П1)=2+0-2=0; ПП=2; ПФ=0; ГУ=2; å П (П2)=2+0-2=0; ПП=2; ПФ=0; ГУ=2; å П =5. Процесс параметризации плоского контура можно описать схематически. Звеньями схемы являются тройки сопряжений примитивов, потому что в каждое звено входит два сопрягаемых элемента контура и один сопрягающий, при этом сопрягающий элемент в скобках. Например: · Пi [ Oj ] Пk, где Пi, Пk – сопрягаемые прямые, [ Oj ] – сопрягающая окружность, i, j, k – порядковые номера элементов. · Оi [ Пj ] Оk, где Оi, Оk – сопрягаемые окружности, [ Пj ] – сопрягающая прямая. · Оi [ Оj ] Оk, где Оi, Оk – сопрягаемые окружности, [ Оj ] – сопрягающая окружность. Сопряжения (касания) различных типов описаны в конструктивной геометрии и алгоритмы их построений по заданным параметрам имеются в справочниках по черчению. Опишем приведенный выше контур через тройки сопряжений и подсчитаем минимально необходимое количество параметров, не включая параметры примитива О1 в расчет дважды.
|
