Поиск оптимального f с помощью среднего геометрического.

В реальной торговле размер проигрышей и выигрышей будут постоянно меняться. Поэтому формулы Келли не могут дать нам правильное оптимальное f. Как корректно с математической точки зрения найти оптимальное f, которое по­зволит нам определить количество контрактов для торговли? Попытаемся ответить на этот вопрос. Для начала мы должны изменить формулу для поиска HPR, включив в нее f:

где -Сделка= прибыль или убыток в этой сделке (с проти­воположным знаком, чтобы убыток стал по­ложительным числом, а прибыль — отрица­тельным);

Наибольший проигрыш = наибольший убыток за сделку (это всегда отрица­тельное число).

TWR — это произведение всех HPR, а среднее геометрическое (G) — это корень N-й степени TWR.

где - Сделка_i = прибыль или убыток по сделке i (с противо­положным знаком, чтобы убыток был поло­жительным числом, а прибыль — отрицательным);

Наибольший проигрыш = результат сделки, которая дала наиболь­ший убыток (это всегда должно быть от­рицательное число);

N = общее количество сделок;

G = среднее геометрическое HPR.

Просмотрев значения/от 0,01 до 1, мы найдем/, которое даст наивысшее TWR. Это значение f позволит получить максимальную прибыль при торговле фикси­рованной долей. Мы можем также сказать, что оптимальное f позволяет получить наивысшее среднее геометрическое. Не имеет значения, что мы ищем: наивыс­шее TWR или среднее геометрическое, так как обе величины максимальны при одном и том же значении f.

Описанную выше процедуру достаточно легко осуществить с помощью компьютера, перебирая f от 0,01 до 1,00. Как только вы получите TWR, которое меньше предыдущего, то знайте, что f, относящееся к предыдущему TWR, является оптимальным f, поскольку графики TWR и среднего геометрического име­ют один пик. Чтобы облегчить процесс поиска оптимального f диапазоне от 0 до 1, можно использовать разные алгоритмы. Один из самых быстрых способов расчета оптимального f — это метод параболической интерполяции, который детально описан в книге «Формулы управления портфелем».

Мы увидели, что лучшей торговой системой является система с наивыс­шим средним геометрическим. Для расчета среднего геометрического необ­ходимо знать f. Итак, давайте поэтапно опишем наши действия.

1. Возьмите историю сделок в данной рыночной системе.

2. Найдите оптимальное f, просмотрев различные значения f от 0 до 1. Опти­мальное f соответствует наивысшему значению TWR.

3. После того, как вы найдете f, возьмите корень N-й степени TWR (N — общее ко­личество сделок). Это и есть ваше среднее геометрическое для данной рыночной системы. Теперь можно использовать полученное среднее геометрическое, что­бы сравнивать эту систему с другими. Значение f подскажет вам, сколькими кон­трактами торговать в данной рыночной системе. После того, как найдено f, его можно перевести в денежный эквивалент, разделив наибольший проигрыш на отрицательное оптимальное/. Например, если наиболь­ший проигрыш равен 100 долларам, а оптимальное f = 0,25, тогда -100 долла­ров / -0,25 = 400 долларов. Другими словами, следует ставить 1 единицу на каж­дые 400 долларов счета. Для простоты можно все рассчитывать на основе единиц (например одна 5-долларовая фишка или один фьючерсный контракт, или 100 акций). Количество долларов, которое следует отвести под каждую единицу, мож­но рассчитать, разделив ваш наибольший убыток на отрицательное оптимальное f. Оптимальное f — это результат равновесия прибыльности системы (на основе 1 единицы) и ее риска (на основе 1 единицы). Многие думают, что оптимальная фиксированная доля — это процент счета, который отводится под ваши ставки. Это совершенно неверно. Должен быть еще один шаг. Оптимальное f само по себе не является процентом вашего счета, который отводится под торговлю, это дели­тель наибольшего проигрыша. Частным этого деления является величина, на ко­торую надо разделить общий счет, чтобы выяснить, сколько ставок сделать или сколько контрактов открыть на рынке.

Необходимо отметить, что залог под открытые позиции не имеет ничего общего с тем, какое математически оптимальное количество контрактов надо откры­вать. Залог не так важен, поскольку размеры отдельных прибылей и убытков не являются продуктом залоговых средств. Прибыли и убытки зависят от выигрыша и убытка в расчете на одну открытую единицу (один фьючерсный контракт). Для управления деньгами залог не имеет значения, так как размер убытка не ограни­чивается только залоговыми средствами. Многие ошибочно полагают, что f является линейной функцией, и чем боль­шей суммой рисковать, тем больше можно выиграть, так как по мнению сторонников такого подхода положительное математическое ожидание является зер­кальным отражением отрицательного ожидания, то есть если увеличение общего оборота в игре с отрицательным ожиданием в результате приносит более быст­рый проигрыш, то увеличение общего оборота в игре с положительным ожидани­ем в результате принесет более быстрый выигрыш. Это неправильно. В некоторой точке в ситуации с положительным ожиданием дальнейшее увеличение общего оборота работает против вас. Эта точка является функцией как прибыльности си­стемы, так и ее стабильности (то есть ее средним геометрическим), так как вы ре­инвестируете прибыли обратно в систему. Когда два человека сталкиваются с од­ной и той же последовательностью благоприятных ставок или сделок, и один ис­пользует оптимальное f, а другой использует любую другую систему управления деньгами, математическим фактом является то, что отношение счета держащего пари на основе оптимального f к счету другого человека будет увеличиваться с те­чением времени с все более высокой вероятностью. Через бесконечно долгое вре­мя держащий пари на основе оптимального f будет иметь бесконечно большее со­стояние, чем его оппонент, использующий любую другую систему управления деньгами, с вероятностью, приближающейся к 1. Более того, если участник пари ставит своей целью достижение определенного капитала, и он стоит перед серией благоприятных ставок или сделок, то ожидаемое время достижения этой цели бу­дет короче с оптимальным f, чем с любой другой системой ставок.

Давайте вернемся и рассмотрим последовательность ставок (сделок):

Мы уже знаем, что формула Келли не применима к этой последовательности, так как величины выигрышей и проигрышей отличаются. Ранее в этой главе мы усред­нили выигрыши и проигрыши и использовали эти средние значения в формуле Келли (так ошибочно поступают многие трейдеры). В результате, мы получили зна­чение f= 0,16. Было отмечено, что применение формулы Келли в данном случае некорректно и не дает нам оптимального f. Формула Келли работает только при постоянных выигрышах и проигрышах. Вы не можете усреднить торговые выигры­ши и проигрыши и получить истинное оптимальное f, используя формулы Келли. Наибольшее значение TWR при такой последовательности ставок (сделок) достигается при 0,24 (т.е. 1 доллар на каждые 71 доллар на счете). Это оптималь­ный геометрический рост, которого можно достичь при данной последователь­ности ставок (сделок) при торговле фиксированной долей. Давайте посмотрим, как меняется TWR при повторении этой последовательности ставок от 1 до 100 при f = 0,16 и f = 0,24. Мы видим, что использование значения f, которое ошибочно получено из формулы Келли, дало только 37,5% дохода, полученного при оптимальном f = 0,24 после 900 ставок или сделок (100 циклов из серий по 9 сделок). Другими словами, оптимальное f= 0,24, которое только на 0,08 отлича­ется от 0,16 (смещено от оптимального на 50%), принесло почти на 167% прибы­ли больше, чем f = 0,16 за 900 ставок!

Давайте повторим эту последовательность сделок еще 11 раз, чтобы в общей сложности получить 999 сделок. Теперь TWR для f=0,16 составляет 8563,302 (даже меньше, чем при f= 0,24 за 900 сделок), а TWR для f==0,24 составляет 25451,045. При 999 сделках эффективность при f= 0,16 составляет только 33,6% от f= 0,24, то есть прибыль при f== 0,24 на 197% больше, чем при f= 0,16!

Как видите, использование оптимального f не дает большого преимущества на коротком временном отрезке, но с течением времени оптимальное f оказыва­ет все большее влияние. Дело в том, что при торговле с оптимальным f надо дать программе время, а не ждать чуда на следующий день. Чем больше времени (то есть ставок или сделок) проходит, тем больше становится разница между стратегией оптимального f и любой другой стратегией управления деньгами.