Объекты нанометрового масштаба и пониженной размерности

Напомним, что наиболее характерные свойства наноструктур являются следствием двух основных условий.

· Атомы, находящиеся в поверхностном слое составляют достаточно большую долю от общего числа атомов, что приводит к доминирующей роли поверхности.

· Электроны в наноструктуре локализованы в области пространства, соразмерной с длиной волны де Бройля для электронов, что обуславливает квантовые размерные эффекты и эффекты пониженной размерности.

Ниже рассмотрим обе группы эффектов.

Доминирующая роль поверхности. Наглядная иллюстрация такого рода эффектов – это резкое уменьшение температуры плавления нанокристаллов (рис. 5.1). Почему происходит снижение температуры плавления можно понять, если учесть, что на поверхности атомы имеют меньшее число соседей, по сравнению с объемом, а следовательно, они менее крепко связаны и менее ограничены в своем тепловом движении. Чем меньше размеры нанокристалла, тем выше в нем доля поверхностных атомов и тем ниже температура плавления. В большинстве случаев уменьшение температуры плавления DT_m обратно пропорционально размеру нанокристалла L, то есть DT_m ~1/L. Если наночастицу составляют всего нескольких атомов, то зависимость DT_m (L) может стать немонотонной из-за наличия «магических» кластеров с повышенной стабильностью.

 

 

Рис. 5.1. Температура плавления нанокристаллов золота
как функция их размера [25]

 

Квантовые размерные эффекты. Квантовые размерные эффекты имеют место тогда, когда положение электрона ограничено областью пространства, размер которой сравним или меньше длины волны де Бройля электрона. В этом случае разрешенные электронные состояния оказываются дискретными (квантуются). Надо указать, что для экспериментального наблюдения дискретных уровней требуются довольно низкие температуры, чтобы расстояние между уровнями было больше k_BT. Вообще говоря, электроны могут быть локализованы в пространстве в одном, двух или трех измерениях.

· Локализация электронов в одном измерении реализуется в двумерных (2 D) объектах, называемых квантовыми пленками.

· Локализация электронов в двух измерениях реализуется в одномерных (1 D) объектах, называемых квантовыми проволоками.

· Локализация электронов в трех измерениях реализуется в нульмерных (0 D) объектах, называемых квантовыми точками.

Чтобы проиллюстрировать влияние размерности на электронные свойства наноструктур, рассмотрим плотность электронных состояний в идеальных 2 D, 1 D и 0 D случаях. Как известно, решением уравнения Шредингера для свободного электронного газа, заключенного в кубе со стороной L (в предположении бесконечно высокого барьера), являются волновые функции в виде стоячих волн

 

y _n (r) = ехр (i k × r) (5.1)

 

с компонентами волнового вектора k, удовлетворяющими условиям

 

, , , (5.2)

 

где n – положительное или отрицательное целое число.

Энергия E_n записывается в виде:

 

. (5.3)

 

Плотность состояний в 3 D случае. В трехмерном k -пространстве каждое разрешенное энергетическое состояние занимает объем (2p/ L)³. Объем сферического слоя радиуса k и толщиной d k равен 4p k ²d k. Очевидно, что число состояний в слое d N находится просто делением этого объема на объем, занимаемый одним состоянием, и, принимая во внимание два разрешенных направления спина, равно:

 

. (5.4)

 

Поскольку , (5.5)

 

где m* – эффективная масса электрона в объеме наночастицы.

Плотность состояний на единицу объема при энергии E равна

 

. (5.6)

 

Этот результат хорошо известен для свободного электронного газа, где плотность состояний пропорциональна квадратному корню из энергии (рис. 5.2, а).

Плотность состояний в 2D случае. В этом случае процедура во многом аналогична, но только на этот раз одна из компонент k фиксирована, и задача сводится к вычислению числа состояний, лежащих в кольцевом промежутке, ограниченных радиусами k и k +d k. Каждое разрешенное состояние занимает площадь (2p/ L)², а площадь кольца равна 2p k d k. Разделив площадь кольца на площадь, занимаемую одним состоянием, и умножив на 2 из-за двух ориентаций спина, получаем

 

. (5.7)

 

Соответственно плотность состояний D _{2 D} (E) на единицу площади равна

 

 

. (5.8)

 

 

 

Рис. 5.2. Идеальная плотность состояний для, а – 3D объема;
б – 2D квантовой пленки; в – 1D квантовой проволоки; г – 0D квантовой точки

 

Как можно видеть, плотность двумерных состояний D _{2 D} (E) не зависит от энергии. Принимая во внимание другие уровни энергии E_n, функция плотностей состояний имеет ступенчатый вид (рис. 5.2, б) и описывается выражением:

, (5.9)

 

где H (E – E_n) – функция Хэвисайда:

 

(5.10)

Плотность состояний в 1 D случае. В одномерном случае две компоненты k фиксированы, следовательно, площадь k -пространства становится длиной, а вместо площади кольца будет отрезок 2d k. Плотность состояний на этом отрезке записывается как

 

. (5.11)

 

В случае только одного измерения плотность состояний на единицу длины равна

 

. (5.12)

 

С учетом других энергетических уровней функция плотности состояний принимает вид (рис. 5.2, в):

 

. (5.13)

 

где H (E – E_n) – это снова функция Хэвисайда, g_n – фактор вырождения.

Плотность состояний в 0 D случае. В нуль-мерном случае величины k должны квантоваться во всех измерениях. Всем разрешенным состояниям соответствуют только дискретные значения энергии, и эти состояния могут быть представлены дельта-функциями (рис. 5.2, г). С такой точки зрения идеальные нуль-мерные объекты могут рассматриваться как искусственные атомоподобные системы. Подобно естественным атомам эти малые электронные системы имеют конечное число электронов и дискретный спектр энергетических уровней.