Модель Дебая

Представление в модели Эйнштейна атомов как независимых осцилляторов, колеблющихся с одинаковой частотой, является чрезмерно упрощенным. В действительности атомы кристалла не совершают независимых колебаний, и спектр содержит бесконечно большое число частот. Этот факт учитывается в модели Дебая.

Энергия тепловых колебаний решетки твердого тела:

(19)

где Величина , называется характеристической температурой Дебая. В качестве примера в нижеприведенной таблице даны характеристические температуры для некоторых химических элементов и соединений.

Таблица

Характеристические температуры Дебая

для некоторых химических элементов и соединений

Вещество	Pb	Mo	С (алмаз)	Si	Ge	NaCl	KCl	KBr	CaF2
q D, К	94,5

 

Дифференцированием (19) получаем выражение для теплоемкости:

. (20)

При высоких температурах (T > q _D) знаменатель под интегралом в (19) можно разложить в ряд и, ограничиваясь первым членом разложения, считать . Это приводит к значению и соответствию закону Дюлонга и Пти (11) для теплоемкости.

 

При низких температурах (T << q _D) х _max→ и интеграл

Для этого случая теплоемкость решетки

. (21)

Эта приближенная зависимость в области низких температур известна как закон Т ³ Дебая. Полученная по теории Дебая зависимость теплоемкости от приведенной температуры T /q _D хорошо соответствуют эксперименту (рис. 3).

Рис. 3. Теоретическая кривая зависимости теплоемкости твердых тел.

.Для оценки температуры Дебая можно использовать формулу Линдемана, связывающую эту температуру с температурой плавления T _пл, атомной массой А и атомным объемом V металла:

. (22)