Колебательное движение

7.1.Пружину с жёсткостью 140 Н/м сжали до длины 0,1 м и отпустили. Работа силы упругости при восстановлении пружины равно … Дж, если длина недеформированной пружины равна 0,2 м.

Ответ: 0,7

 

7.2.Материальная точка массой m = 0,5 кг брошена с поверхности Земли с начальной скоростью v₀= 25 м/с и в положении М имеет скорость v = 15 м/с. Определить работу силы тяжести (Дж) при перемещении точки из положения М₀ в положение М.

Ответ: – 100

7.3.Груз М весом Р = 20 Н, прикреплённый к невесомой нити длиной l = ОМ = 90 см, начинает двигаться из состояния покоя. Определить: 1) работу силы тяжести А(Р) на перемещении М₁М₂; 2) скорость v груза М, когда он займёт положение М₂. Принять g = 10 м/с².

1) = … (Дж), 2) = … (м/с).

Ответы: 9*3

7.4. Груз М весом Р подвешен на невесомой нерастяжимой нити длиной l. В начальный момент времени груз находился в положении М₁.

Определить: 1) работу силы тяжести А(Р) на перемещении груза М₁М₂; 2) какую минимальную скорость v₁ необходимо сообщить грузу, чтобы он достиг положения М₂. (Начальный угол наклона стержня 30^о)

Ответы:– 0,5*1

7.5.Матер. точка массы m = 2 кг перемещается в вертикальной плоскости Оху. Определить работу А_ОМ (Дж) силы тяжести Р = mּg при перемещении матер. точки по дуге OM полуокружности радиуса R = 10 м (см. рис.). Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа. А_ОМ = … (Дж)

Ответ: – 392

7.6. Матер. точка массы m = 2 кг перемещается в вертикальной плоскости Оху. Определить работу А_ОМ (Дж) силы тяжести Р = mּg при перемещении матер. точки по дуге OM окружности радиуса R = 10 м (см. рис.). Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². Результат вычисления округлить до ближайшего целого числа. А_ОМ = … (Дж)

Ответ: – 196

7.7. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 20 Н/см. Вычислить работу А₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М₁ в точку М₂ (см. рис.); а = 8 см.

А₁₂ = … (Дж).

Ответ: 6,4

7.8.Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 20 Н/см. Вычислить работу А₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М₁ в точку М₂ (см. рис.); а = 10 см.

А₁₂ = … (Дж).

Ответ: – 10

7.9.Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы притяжения = – /r³ к силовому центру О, убывающей по величине обратно пропорционально квадрату расстояния от точки до силового центра О, |F|= k/r², k = 200 (Н/м²). Вычислить работу А₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М₁ в точку М₂ (см. рис.); M₂М₁ = a = 30 м, ОМ₂ = b = 40 м.

А₁₂ = … (Дж).

Ответ: 1

7.10.Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r в поле центральной силы. Сила притяжения, убывающая обратно пропорционально квадрату расстояния, по модулю равна F(r) = , где k = const. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v точки при следующих числовых данных параметров: k = 16 м³/сек² и r = 4 м. v = … (м/с).

Ответ: 2

 

7.11.Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r в поле центральной силы притяжения. Сила притяжения по модулю равна F(r) = cּr, где c = const. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v точки при следующих числовых данных параметров: m = 0,25 (кг) , c = 100 (Н/м) и r = 0,2 (м).

v = … (м/с).

Ответ: 4

7.12.Матер. точка массы m движется по окружности радиуса r под действием центральной силы притяжения , постоянной по модулю (| | = F = const), действующей в области 0,01 м < r < 2 м. (Центр окружности совпадает с силовым центром.) Определить значение скорости v (м/с) точки при следующих числовых данных параметров: F = 1 (Н), m = 0,25 (кг), r = 1 (м). v = … (м/с).

Ответ: 2.

 

7.13. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М в точку О (см. рис.); а = 9 см, b = 12 см. А_МО = … (Дж).

Ответ: 90

7.14.Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки О в точку М (см. рис.); а = 9 см, b = 12 см. А_ОМ = … (Дж).

Ответ: – 90

7.15. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c = 80 Н/см. Вычислить работу А₁₂ силы при перемещении матер. точки из точки М₁ в точку М₂ (см. рис.); ОМ₁ = b = 12 см, OM₂ = a = 9 см. (Числовой результат определить с точностью до первого знака после запятой включительно.) А₁₂ = … (Дж).

Ответ: 25,2

7.16.Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите на высоте от поверхности Земли h, равной половине радиуса Земли (h = 0,5ּR). Первая космическая скорость равна v_косм1 = 7910 (м/с). Определить скорость v (м/с) спутника на обозначенной орбите. v = … (м/с).

Ответ: 6459

7.17.На рис. изображена штанга, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира О. Плечи штанги l₁ = 30 см и l₂ = 70 см. На концах штанги закреплены точечные грузы с массами m₁ = 8 кг и m₂ = 4 кг. Штанга совершает поворот вокруг оси О в вертикальной плоскости на угол 90^о по часовой стрелке.

Вычислить работу силы тяжести при этом повороте. Массой штанги пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с².

А = … (Дж). (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.)

Ответ: 3,9

7.18.На рис. изображена штанга, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира О. Плечи штанги l₁ = 40 см и l₂ = 70 см. На концах штанги закреплены точечные грузы с массами m₁ = 7 кг и m₂ = 4 кг. Штанга совершает поворот вокруг оси О в вертикальной плоскости на угол 90^о против часовой стрелке.

Вычислить работу силы тяжести при этом повороте. Массой штанги пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с². А = … (Дж).

Ответ: 0

7.19.Груз массой m прикреплён к правому концу пружины, левый конец которой закреплён в стене. В начальном положении пружина не была деформирована. Ось x направлена вдоль оси пружины, причём начало отсчёта находится в правом конце не деформированной пружины.

Проекция силы упругости пружины равна F_x = – cּx – bּx³, где x – удлинение пружины; параметры c и b имеют следующие значения: c = 1000 Н/м, b = 4 Н/м³. Вычислить работу упругой силы пружины при перемещении груза на расстояние s = 1 м. А = … (Дж)

Ответ: – 501

7.20На двух одинаковых лёгких спиральных пружинках подвешены две гири, отношение масс которых m₁/m₂ = 3. Гири получили толчки в вертикальном направлении и колеблются так, что амплитуда колебаний первого груза А₁ в 2 раза больше амплитуды колебаний А₂ второго груза. Как относится энергии их колебаний Е₁/Е₂ ? Е₁/Е₂ = …

Ответ: 4

7.21. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

4ּd²x/dt² + 12ּdx/dt + cּx = 0.

Определить максимальное значение коэффициента жёсткости с пружины, при котором движение будет апериодическим; с = …

Отметьте правильный ответ.

Ответ: 9

7.22.Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d²x/dt²+100ּx = 15ּsin 5ּt.

Определить амплитуду вынужденных колебаний А_вынужд; (результат вычисления округлить с точностью до первого знака после запятой); А_вынужд = … .

Ответ: 0,2

 

7.23.Тело массой m = 0,1 кг движется прямолинейно по закону x = 2ּsin (5ּt) (м) под действием силы F. Определить наибольшее значение этой силы;

|F | = …(H).

Ответ: 5

 

7.24.Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

2ּd²x/dt² + bּdx/dt + 2ּx = 0 .

Определить минимальное значение b_min точки, при котором движение будет апериодическим: b_min = …

Ответ: 4

7.25.Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d²x/dt²+ 6ּdx/dt + 25ּx = 0 .

Определить условный период Т затухающих колебаний. Т = … (сек).

Ответ:2πּ0,25

7.26.Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

mּd²x/dt²+2ּdx/dt +5ּx = 0 .

Определить максимальное значение массы m_max точки, при котором движение будет апериодическим: m_max = … (Результат вычисления определить с точностью до первого знака после запятой);

Ответ: 0,2

7.27.Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d²x/dt²+8ּdx/dt +25ּx = 0 .

Определить, каким будет движение: равномерным, равноускоренным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное

-: Равноускоренное

+: Колебательное

-: Апериодическое

 

7.28. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

2ּd²x/dt²+8ּdx/dt +7ּx = 0 .

Определить, каким будет движение: равномерным, равноускоренным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное

-: Равноускоренное

-: Колебательное

+: Апериодическое

7.29. Груз массой m = 0,2 кг подвешен к пружине, коэффициентом жёсткости которой с = 20 Н/м, и выведен из состояния равновесия. Сила сопротивления движению R = - 4ּv (Н).

Определить, каким будет движение: равномерным, колебательным или апериодическим.

Отметьте правильный ответ.

-: Равномерное

-: Равнозамедленное

-: Колебательное

+: Апериодическое

 

7.30. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

7ּd²x/dt² + 28ּdx/dt + cּx = 0 .

Определить наибольшее значение коэффициента жёсткости с пружины, при котором движение будет апериодическим; c = …

Ответ: 28.

7.3I. Дифференциальное уравнение движения материальной точки имеет вид

d²x/dt² + bּdx/dt + 100ּx = 0 .

Определить минимальное значение b_min точки, при котором движение будет апериодическим; b_min = …

Ответ: 20

7.32.Маятник представляет собой шарнирно соединённую со штативом лёгкую жёсткую спицу с закреплёнными на ней двумя небольшими по размерам грузами массы m каждый (см. рис.). Расстояния между точкой крепления О и верхним грузом и между грузами равны 0,5ּl. Определить период колебаний.

(g – ускорение свободного падения).

Ответ: Т = 2ּπּ0,91ּ

7.33. Тело массы m = 0,4 кг совершает колебания на пружине так, что наибольшее значение скорости v_макс = 120 см/сек, наибольшее отклонение от положения равновесия x_макс = 4 см Определить коэффициент жёсткости c (Н/м) пружины.

 

Ответ: 360

7.34.Через неподвижный блок с массой m₁ = 200 г перекинута нить, к концу которой подвешен груз массы m₂ = 390 г. Другой конец нити привязан к пружинке с закреплённым нижним концом (см. рис.). Коэффициент жёсткости пружины c = 100 (Н/м). Вычислить период колебаний груза Т (сек.). Нить не может скользить по поверхности блока; блок однородный цилиндр; трение в оси блока отсутствует.

Ответ: 0,44

7.35.Груз, подвешенный к пружине, при медленном его опускании вызвал удлинение её на Δl = 6 см. Определить период Т (сек.) собственных колебаний пружинного маятника. (g = 9,8 м/с²)

Ответ: 0,49

7.36.Человек массы m = 60 кг переходит с носа на корму лодки. На какое расстояние по величине | s |переместится лодка длины l = 4 м, если её масса M = 140 кг?

| s | = … (м).

Ответ: 1,2

7.37.Колесо радиуса R = 0,5 м, массы m = 10 кг и моментом инерции относительно оси вращения J = 1,5 кгּм² катится без скольжения по горизонтальной прямой под действием приложенной к нему силы F в центре масс С колеса горизонтально, F = 8 Н. Определить ускорение a_C (м/с²) центра масс C колеса. a_C = …

Ответ: 0,5

7.38.Шкив 1 массы М = 10 кг и радиуса R = 0,3 м, вращаясь с угловой скоростью ω = 4,0 рад/с, поднимает груз 2 массы m = 15 кг. Определить модуль количества движения |Q| механизма;

|Q| = … (кгּм/с).

Ответ: 18

7.39.Масса каждого из тёх звеньев шарнирного параллелограмма ОАВС (ОА, АВ, СВ)равна 2 кг. Длина кривошипа ОА равна 0,5 м. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью ω = 5 рад/с.

Определить модуль количества движения |Q| механизма; |Q| = … (кгּм/с).

Ответ: 10

 

7.44.Цилиндр 1 вращается с угловой скоростью ω = 20 рад/с. Его момент инерции относительно оси вращения Ј = 10 кгּм² , радиус r = 0,4 м. Груз 2 имеет массу m₂ = 2 кг.

Определить модуль количества движения |Q| механизма;

|Q| = … (кгּм/с).

Ответ: 16

7.45.В кривошипно-шатунном механизме ОАВ, расположенном в горизонтальной плоскости, кривошип ОА и шатун АВ имеют каждый массу m = 2 кг, а ползун В имеет массу m/2 = 1 кг. Длина кривошипа OA l = 0,5 м, длина шатуна AB 2ּl = 1,0 м. Угловая скорость кривошипа равна ω= 6 рад/с.

Определить модуль количества движения |Q| механизма в тот момент, когда угол φ = π/2;

|Q| = … (кгּм/с).

Ответ: 2

7.46.В кривошипно-шатунном механизме ОАВ, расположенном в горизонтальной плоскости, кривошип ОА и шатун АВ имеют каждый массу m = 2 кг и длину l = 0,5 м, а ползун В имеет массу m/2 = 1 кг. Угловая скорость кривошипа равна ω = 6 рад/с.

Определить модуль количества движения |Q| механизма в тот момент, когда угол α = 0;

|Q| = … (кгּм/с).

Ответ: 6

 

7.47.Сплошной однородный цилиндр 1 массы m₁ = 10 кг и радиуса r = 0,5 м вращается с угловой скоростью ω = 10 + 2ּt (рад/сек). Груз 2 имеет массу m₂ = 20 кг.

Определить модуль главного вектора внешних сил

|F^(e)| = … (Н), действующих на тело 2.

 

 

Ответ: 20

7.47.Поезд массы m = 600 тонн после прекращения тяги тепловоза останавливается под действием силы трения F_тр = 0,2 МН (мега-ньютон) через время t = 45 сек. С какой скоростью v шёл поезд до момента прекращения тяги тепловоза? v = …(м/с)

Ответ: 15

 

7.48.Масса платформы с орудием и боеприпасами составляет M = 20 тонн. С этой платформы, движущейся со скоростью u = 2,5 м/с, производится выстрел из орудия. Снаряд массы m = 25 кг вылетает из ствола орудия со скоростью v = 800 м/с (относительно орудия). Найти скорость платформы u₁ (м/с) непосредственно после выстрела, если направления движения платформы и выстрела совпадают.

Ответ: 1,5

7.49.Масса платформы с орудием и боеприпасами составляет M = 20 тонн. С этой платформы, движущейся со скоростью u = 2,5 м/с, производится выстрел из орудия. Снаряд массы m = 25 кг вылетает из ствола орудия со скоростью v = 800 м/с (относительно орудия). Найти скорость платформы u₁ (м/с) непосредственно после выстрела, если направления движения платформы и выстрела противоположны.

Ответ: 3,5

7.50.Ядро, летевшее со скоростью v = 200 м/с, разорвалось на два осколка с массами m₁ = 10 кг и m₂ = 5 кг. Скорость первого осколка v₁ = 250 м/с и направлена так же, как и скорость ядра до разрыва. Найти скорость v₂ второго (меньшего) осколка; v₂ = … (м/с).

Ответ: 100

7.51.Кривошипно-ползунный механизм прикреплён к станине массы M, установленной на гладком горизонтальном фундаменте. Масса ползуна B механизма равна m, масса станины M = 4ּm. Длины звеньев OA и AB: OA = l, AB = 2ּl, их массами пренебречь. Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω и при t = 0 угол φ = 0 и в этот момент скорость станины равна нулю. Определить максимальное значение v_max скорости станины.

Ответ:0,20ּωּl

7.52.Орудие, имеющее массу ствола М = 400 кг, стреляет в горизонтальном направлении. Масса снаряда m = 4 кг, его начальная скорость v = 500 м/с. При выстреле ствол откатывается на расстояние s = 40 см. Найти среднюю силу торможения F(кН), возникающую в механизме, тормозящем ствол.

Ответ: 12,5

7.53.Тело массы M = 990 г лежит на горизонтальной поверхности. В него попадает пуля массы m = 10 г и застревает в нём. Скорость пули v = 600 м/с и направлена горизонтально. Какой путь s (м) пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и поверхностью k = 0,1. (g = 10 м/с²)

Ответ: 18

 

7.54.Стержень представляет собой шарнирно соединённую со штативом лёгкую жёсткую спицу с закреплёнными на ней двумя небольшими по размерам грузами массы m каждый (см. рис.); расстояния между точкой крепления О и верхним грузом и между грузами равны l. Первоначально стержень был отклонён в верхнее вертикальное положение, а затем лёгким толчком был выведен из этого положения.(g – ускорение свободного падения).

Определить угловую скорость ω стержня в момент прохождения им нижнего положения.

Ответ:1,55ּ

7.55.Масса каждого из тёх звеньев шарнирного параллелограмма ОАВС (ОА, АВ, СВ)равна m = 2 кг. Длина кривошипа ОА равна 0,6 м. Кривошип ОА вращается равномерно с угловой скоростью ω = 10 рад/с.

Момент инерции стержня ОА относительно шарнира О (или стержня СВ относительно шарнира С) равен

J = (1/3)ּm ּ(ОА)² = (1/3)ּm ּ(CB)².

Определить кинетическую энергию T механизма. T = … (Дж)

Ответ: 60

7.56.Цилиндр 1 вращается с угловой скоростью ω = 10 рад/с. Его момент инерции относительно оси вращения Ј = 2 кгּм² , радиус r = 0,5 м. Груз 2 имеет массу m₂ = 10 кг.

Определить кинетическую энергию T механизма;

T = … (Дж)

 

Ответ: 225

 

7.57. К концу троса, намотанного на барабан, прикреплён груз 1 массы m₁. К барабану ворота 2 радиуса r и массы m₂ приложен постоянный вращающий момент M. Барабан однородный диск.

m₁ = m, m₂ = (2/9)ּm.

Определить ускорение тела 1.

Ответ:0,90ּ

7.58.Дано: m₁, колесо массы m₂ – однородный цилиндр, причем m₂ = 8ּm₁. Пренебрегая массой блока и каната, также проскальзыванием колеса и силой трения, определить ускорение груза 1.

Ответ:0,25ּg

7.59. Дано: груз массы m₁, колесо массы m₂ – однородный цилиндр, причем m₂ = ּm₁. Пренебрегая массой блока и каната, также проскальзыванием колеса и силой трения в блоке, определить ускорение груза 1.

Ответ:0,30ּg

7.60.Дано: масса груза m₁, угол α, каток массы m₂ – однородный цилиндр, причем m₂ = 1,6ּm₁. Пренебрегая массой блока и каната, также проскальзыванием катка и силой трения в блоке, определить ускорение груза 1.

Ответ:0,50ּgּsinα