ЗАКОН КЛАВИЯ

— логический закон, характеризующий связь импликации («если, то») и отрицания. Его можно передать так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Иначе говоря: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание истинно. Напр., если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.

Закон назван именем Клавия — ученого иезуита, жившего в XVI в., одного из создателей григорианского календаря. Клавий обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Началам» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал из допущения, что она является ложной.

С использованием символики логической (р — некоторое высказывание; -> - условная связь, «если, то»; ~ - отрицание, «неверно, что») 3. К. представляется формулой:

(~р - > р)- > р, если не - р имплицирует р, то верно р.

3. К. лежит в основе рекомендации, касающейся доказательства: если хочешь доказать А, выводи A из допущения, что верным является не - А. Напр., нужно доказать утверждение «Трапеция имеет четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что трапеция имеет четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывести утверждение, то последнее будет истинно.

Эту схему рассуждения использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором, который утверждал: «Истинно все то, что к.-л. приходит в голову». На это Демокрит ответил, что из положения «Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания: «Не все высказывания истинны». И, значит, это отрицание, а не положение Прота-гора на самом деле истинно.

3. К. является одним из случаев общей схемы косвенного доказательства: из отрицания утверждения выводится само это утверждение, вместе с отрицанием оно составляет логическое противоречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение.

К 3. К. близок по своей структуре другой логический закон, отвечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Напр., если условием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает. Иначе говоря: если необходимым условием истинности некоторого утверждения является его ложность, то утверждение ложно.

Символически:

(p - > ~p)- > ~p, если р имплицирует не - р, то верно не - р. Данный закон представляет собой схему рассуждения, идущего от некоторого утверждения к его отрицанию. Можно сказать, что он в некотором смысле слабее, чем З.К., представляющий рассуждение, идущее от отрицания утверждения к самому утверждению. В частности, оба эти закона имеют место в логике классической, но 3. К. не принимается в интуиционистской логике.

ЗАКОН КОММУТАТИВНОСТИ (от лат. commutatio - изменение, перемена)

— общее название логических законов, позволяющих менять местами высказывания, связанные конъюнкцией («и»), дизъюнкцией («или»), эквивалентностью («если и только если») и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативности для умножения, сложения и др., по которым результат умножения не зависит от порядка множителей, сложения - от порядка слагаемых и т. д.

Символически 3. к. для конъюнкции и дизъюнкции записываются так (р, q — некоторые высказывания, & — конъюнкция, v — дизъюнкция, = — эквивалентность):

(p & q) = (q & p), р и q тогда и только тогда, когда q и р;

(p v q) = (q v p), р или q, если и только если q или р.

Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примерами: «Волга — самая длинная река в Европе и Волга впадает в Каспийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Европе»; «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь».

Существуют важные различия между употреблением слов «и» и «или» в повседневном языке и в логике. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по своему содержанию. Нередко обычное «и» употребляется при перечислении, а обычное «или» предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значение «и» и «или» упрощается и делается более независимым от временной последовательности, от психологических факторов и т. п. «И» и «или» в логике коммутативны. Но «и» обычного языка, как правило, коммутативным не является. Скажем, «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно «Он попал в больницу и сломал ногу».

ЗАКОН КОММУТАЦИИ (от лат. commutatio - изменение, перемена)

— логический закон, говорящий о возможности перестановки двух последовательных оснований некоторого условного высказывания. Словами: первое влечет, что если второе, то третье, в том и только том случае, когда второе влечет, что если первое, то третье. Напр., утверждение «Если население Земли будет расти нынешними темпами, то, если не будет значительно поднят уровень сельскохозяйственного производства, наступит кризис» равносильно утверждению «Если уровень сельскохозяйственного производства не будет значительно поднят, то в случае роста населения Земли нынешними темпами наступит кризис».

С применением символики логической 3. к. записывается таким образом (р, q, r - некоторые высказывания; -> - импликация, «если, то»; = - эквивалентность, «если и только если»):

(p - > (q - > r)) = (q - > (p - > r)),

р имплицирует, что q имплицирует r, если и только если q имплицирует, что р имплицирует r.

ЗАКОН КОМПОЗИЦИИ (от лат. compositio - сочинение, составление)

- общее название ряда логических законов, позволяющих объединять следствия определенных условных высказываний или разделять их основание.

Один из этих законов можно выразить так: если верно, что если первое, то второе, и если первое, то третье, то верно, что если первое, то второе и третье. Напр.: «Если верно, что стороны квадрата равны, и верно, что его диагонали равны, то у квадрата равны как его стороны, так и его диагонали».

Символически (р, q, r - некоторые высказывания; & — конъюнкция, «и»; -> - импликация, «если, то»):

((p - > q) & (p - > r))- > (р - > (q& r)), если (если р, то q) и (если р, то r), то (если р, то q и r). Иногда этот закон называют также законом гипотетического силлогизма.

Другой 3. к.: если дизъюнкция двух высказываний влечет третье высказывание, то каждый из членов этой дизъюнкции влечет это высказывание. Напр.: «Если верно, что рукопись, брошенная в огонь или брошенная в воду, погибнет, то верно, что рукопись, брошенная в огонь, погибнет».

Символически (v — дизъюнкция, «или»):

((p v q)-> r)-> (p -> r), если (если р или q, то r), то (если р, то r); ((pvg)- > r)- > (q - > r), если (если р или q, то r), то (если q, то r).