НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ

 

В этом параграфе мы используем обозначения, введенные в § 3.1, частности, мы считаем, что эллипс, гипербола и парабола заданы в прямоугольной системе координат каноническими уравнениями соответственно (1), (3) и (6) из § 3.1.

Определение 3.3.1. Директрисами эллипса и гиперболы называются две прямые и с уравнениями соответственно и . Директрисой параболы называется прямая с уравнением (рис. 7).

 

Рис. 7

Будем говорить, что в случаях эллипса и гиперболы фокус и директриса соответствуют друг другу. Первое общее свойство трех упомянутых фигур выражается следующим утверждением.

Утверждение 3.3.1. Для любой точки эллипса, гиперболы или параболы отношение ее расстояний до фокуса и соответствующей директрисы постоянно и равно эксцентриситету.

Доказательство. Пусть – произвольная точкаэллипса, – расстояние от до левого фокуса (см. § 3.1), – расстояние от до левой директрисы . Тогда . Для правых фокуса и директрисы доказательство аналогично.

Пусть – произвольная точкагиперболы, – расстояние от до правого фокуса (см. § 3.1), – расстояние от до правой директрисы . Тогда . Для левых фокуса и директрисы доказательство аналогично.

Пусть – произвольная точкапараболы, тогда – расстояние от до фокуса (см. § 3.1), – расстояние от до директрисы . Тогда .

Доказанное свойство является характеристическим для трех фигур.

Утверждение 3.3.2. Пусть – прямая на плоскости , – точка плоскости, не лежащая на , – положительное число.

Тогда фигура , состоящая из всех точек плоскости, для которых отношение расстояний до точки и до прямой постоянно и равно , суть: эллипс, если ; гипербола, если ; парабола, если .

Коротко заключение утверждения можно записать следующим образом:

–

Доказательство. Выберем прямоугольную систему координат на плоскости так, что ось совпадает с прямой , а ось проходит через точку перпендикулярно . Тогда координаты заданной точки: , где – расстояние от до . Если – произвольная точка плоскости, то уравнение фигуры имеет вид:

или

Преобразовывая уравнение далее, получим:

(1)

Пусть . Вынесем множитель из слагаемых, содержащих , и дополним оставшиеся члены до полного квадрата:

или

.

Введем обозначение и разделим обе части последнего уравнения на . Получим в итоге следующее уравнение фигуры :

 

(2)

Очевидно, что (2) является уравнением эллипса, если , и уравнением гиперболы, если .

Если в уравнении (1), то его можно переписать в виде . Последнее уравнение, очевидно, задает параболу. 

Читателю предлагается в качестве упражнения убедиться в том, что и являются для фигуры соответствующими друг другу фокусом и директрисой.

Второе общее свойство эллипса, гиперболы и параболы, которое мы отметим, заключается в том, что при подходящем выборе полярной системы координат все три фигуры можно задать одним уравнением.

Пусть – эллипс, гипербола или парабола, и соответствующие друг другу фокус и директриса. Зададим полярную систему координат следующим образом. Полюс поместим в точку , полярный луч выберем перпендикулярным прямой , но не пересекающим ее (рис. 8).

 

Рис. 8

 

Прямая , проходящая через точку перпендикулярно полярному лучу, пересекает фигуру в двух симметричных относительно точках и . Пусть – одна из них. Число называется фокальным параметром фигуры . В силу утверждения 3.3.1, для каждой из трех фигур где – эксцентриситет фигуры , – расстояние от до (или, что то же самое, расстояние между параллельными прямыми и ). Несложные вычисления показывают, что для параболы совпадает с числом в ее каноническом уравнении, а для эллипса и гиперболы где и – полуоси. Пусть – произвольная точка эллипса, параболы или той ветви гиперболы, которая лежит между и , заданная своими полярными координатами, – точка пересечения прямой и перпендикуляра к прямой , проведенного из точки . Если точка не совпадает с или , то три попарно различные точки одной прямой и возможны два варианта их взаимного расположения: либо лежит между и (рис. 8, верхняя часть), либо лежит между и (рис. 8, нижняя часть). Расстояние от точки до директрисы равно в первом случае и во втором случае. В обоих случаях = в первом случае и во втором случае. В итоге, в обоих случаях имеем: В силу утверждения 3.3.1, , или Выражая из последнего равенства через , получаем окончательно полярное уравнение

, (3)

которое задает эллипс, параболу или одну ветвь гиперболы.

Далее мы найдем уравнения касательных прямых к эллипсу, гиперболе, параболе.

Если ограничиться первой координатной четвертью, то дуга эллипса, лежащая в этой четверти, является графиком функции

Из школьного курса математики известно, что уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

 

.

В рассматриваемом случае

Следовательно, уравнение касательной:

или .

Так как , получаем окончательно уравнение касательной к эллипсу в точке :

. (4)

Учитывая, что эллипс симметричен относительно координатных осей, нетрудно убедиться, что по формуле (4) задается касательная к эллипсу в его произвольной точке.

Аналогично получаются уравнения касательных к гиперболе:

(5)

и параболе:

(6)

Теперь можно установить так называемые «оптические» свойства эллипса, гиперболы и параболы.

Утверждение 3.3.3. Касательная в любой точке эллипса или гиперболы составляют равные углы с фокальными радиусами этой точки (рис. 9).

Рис. 9

Доказательство. Пусть – точка эллипса. Рассмотрим векторы и , а также направляющий вектор касательной. Пусть и – величины углов соответственно между и , и между и .Тогда:

Таким образом, . Доказательство в случае гиперболы проводится аналогично. 

Физическая (оптическая) интерпретация доказанных свойств следующая:

луч, выпущенный из одного фокуса эллипса, отразившись от эллипса, попадает в другой фокус;

луч, выпущенный из одного фокуса, отразившись от гиперболы, идет по прямой, проходящей через второй фокус и точку отражения.

Утверждение 3.3.4. Касательная в любой точке параболы составляют равные углы с фокальным радиусом этой точки и осью параболы (рис. 10).

Рис. 10

Доказательство. Пусть – точка параболы. Рассмотрим вектор и направляющий вектор касательной. Пусть и – величины углов соответственно между и , и между и осью параболы. Поскольку в рассматриваемом случае ось параболы совпадает с координатной осью , то – величина угла между и базисным вектором системы координат. Тогда:

Таким образом, .

Физическая (оптическая) интерпретация доказанного свойства параболы следующая: луч, выпущенный из фокуса, отразившись от параболы, идет по прямой, параллельной оси параболы. На этом свойстве основаны конструкции прожекторов, фар, передающих и принимающих антенн, в том числе параболических телевизионных.