ФИГУРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ФИГУРЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

Определение 3.2.1. Фигурой второго порядка на плоскости называется фигура, которая в некотором аффинном репере может быть задана уравнением второй степени от двух неизвестных.

Таким образом, фигура является фигурой второго порядка, если существует аффинный репер в котором задается уравнением:

(1)

 

В уравнении (1) – фиксированные вещественные числа, – неизвестные, коэффициент 2 в трех слагаемых поставлен для удобства дальнейших преобразований уравнения. Поскольку (1) – уравнение второй степени, среди коэффициентов есть ненулевые. Это условие можно записать в матричном виде:

 

(2)

 

Утверждение 3.2.1. Фигура , которая в репере задана уравнением (1) с условием (2), в любом другом репере может быть задана уравнением такого же типа.

Доказательство. Будем использовать матричные обозначения. У нас уже есть матрица коэффициентов квадратичной части уравнения. Обозначим строку коэффициентов линейной части и – столбец неизвестных. В таких обозначениях уравнение (1) переписывается в виде:

()

 

Чтобы найти уравнение фигуры в репере запишем формулы преобразования координат точек (формулы (2) из § 2.1) при переходе от репера к реперу

 

= (2)

 

и подставим выражение из (2) в уравнение (). Получим:

 

 

Таким образом, уравнение в репере имеет такой же вид, как уравнение ():

 

()

 

где Покажем, что – ненулевая матрица. Рассуждаем «методом от противного». Допустим, что Запишем формулы преобразования координат при обратном переходе от репера к реперу Если подставить это выражение в уравнение (3), то получим исходное уравнение (). При этом, как и при первом переходе, матрица коэффициентов квадратичной части равна: По сделанному нами допущению, следовательно, Получили противоречие с условием что и завершает доказательство. 

Далее мы выясним, какие бывают фигуры второго порядка. Зафиксируем на плоскости ортонормированный репер Согласно утверждению 3.1.1, любая фигура второго порядка в этом репере имеет уравнение (1). Предположим, что в этом уравнении коэффициент при произведении неизвестных отличен от нуля: Покажем, что повернув репер вокруг начала координат на подходящий угол , т.е. перейдя к другому ортонормированному реперу можно добиться того, что в новом репере фигура имеет уравнение вида (1) с нулевым коэффициентом при произведении неизвестных. Запишем формулы преобразования координат при повороте прямоугольной системы координат вокруг точки на угол (см. § 2.1):

 

(4)

Подставив выражения и в уравнение (1), получим уравнение вида (1) фигуры в системе координат Нас интересует коэффициент при произведении неизвестных

Если угол выбрать таким, что

то Таким образом, можно считать, что в подходящей прямоугольной системе координат фигура имеет уравнение

 

(5)

 

причем коэффициенты и не равны нулю одновременно. Рассмотрим несколько вариантов.

I. Пусть Преобразуем левую часть уравнения (5) следующим образом:

Произведем параллельный перенос системы координат

согласно формулам:

В новой системе координат уравнение фигуры имеет вид:

 

(6)

. Пусть В этом случае, положив уравнение (6) можно записать в виде:

(7)

Таким образом, в случае фигура является эллипсом.

. Пусть В этом случае, положив уравнение (6) можно записать в виде:

(8)

Таким образом, в случае фигура является гиперболой.

. Пусть В этом случае, положив уравнение (6) можно записать в виде:

или (9)

Таким образом, в случае фигура является парой прямых, пересекающихся в начале координат с уравнениями: и

. Пусть В этом случае, положив уравнение (6) можно записать в виде:

(10)

Уравнение (10) не имеет решений в области действительных чисел, поэтому на плоскости фигура сводится к пустому множеству. Тем не менее, фигуру с уравнением (10) принято называть мнимым эллипсом, учитывая, что в области комплексных чисел уравнение (10) имеет решения.

. Пусть В этом случае, положив уравнение (6) можно записать в виде:

(11)

Уравнение (11) в области действительных чисел имеет единственное решение , поэтому на плоскости фигура сводится к точке. В области комплексных чисел левая часть уравнения (11) распадается на линейные множители:

,

поэтому фигуру с уравнением (11) по аналогии со случаем принято называть парой мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке

Читателю предлагается в качестве упражнения убедиться, что в случае I иных фигур, кроме пяти перечисленных выше, не возникает.

. Пусть Преобразуем левую часть уравнения (5) следующим образом:

Произведем параллельный перенос системы координат

согласно формулам:

В новой системе координат уравнение фигуры имеет вид:

 

(12)

Этом случае возможны следующие 3 варианта.

. Пусть В этом случае, положив уравнение (12) можно записать в виде:

или (13)

Таким образом, в случае фигура является парой параллельных прямых.

. Пусть В этом случае, положив уравнение (12) можно записать в виде:

(13)

В этом случае фигуру принято называть парой мнимых параллельных прямых.

. Пусть В этом случае уравнение (12) можно записать в виде:

(14)

Уравнение (14) задает прямую. Учитывая вторую степень уравнения, фигуру в этом случае принято называть сдвоенной прямой.

. Пусть Преобразуем левую часть уравнения (5) следующим образом:

Произведем параллельный перенос системы координат

согласно формулам:

В новой системе координат уравнение фигуры имеет вид:

 

(15)

где Фигура является параболой.

Зафиксируем итог наших рассмотрений в следующей теореме.

Теорема 3.1.1. Для любой фигуры второго порядка на плоскости существует прямоугольная система координат , в которой задается одним из следующих канонических уравнений:

1) – эллипс;

2) – гипербола;

3) – пара пересекающихся прямых;

4) – мнимый эллипс;

5) – пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке;

6) – пара параллельных прямых;

7) – пара мнимых параллельных прямых;

8) – сдвоенная прямая;

9) – парабола.