Решение дифференциальных уравнений

 

Функция diff позволяет найти производные, как первого, так и более высоких порядков. При наличии у функции нескольких переменных можно найти частную производную по одной из них.

Синтаксис: diff(функция, переменная, порядок производной);

Пример: найти первую производную функции y(x)=e^x/x²

Сначала введем функцию: y(x): =exp(x)/x^2; (обратите внимание, что в отличие от присвоения значения переменной, здесь используется комбинация

символов ": =" (двоеточие и равно)), а затем найдем ее производную по переменной х.

Для этого введем команду: diff(y(x), x, 1); или diff(y(x), x);. В случае первой производной ее порядок можно не указывать.

Maxima аналитически решает следующие виды дифференциальных уравнений

· первого порядка: с разделяющимися переменными, линейные, нелинейные уравнения, однородные, неоднородные;

· второго порядка: с постоянными коэффициентами, линейные однородные с непостоянными коэффициентами, которые могут быть преобразованы к уравнению с постоянным коэффициентам, уравнение Эйлера, уравнения, разрешимые методом вариации постоянных, и уравнения, которые допускают понижение порядка.

 

С уравнениями первого и второго порядков легко расправляется функция ode2. Особенностью данной функции является возможность решения практически любых уравнений, но не выше второго порядка.

Синтаксис: ode2(уравнение, функция, переменная). Функцией обычно является у, а переменной - х.

Помимо решения дифференциального уравнения в общем виде, можно решать уравнения с начальными условиями (краевая задача). Для этого необходимо решить уравнение в общем виде при помощи функции ode2, а затем воспользоваться одной из функций поиска начальных условий:

ic1(решение, точка х, значение у в точке х) – для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка с начальным условием;

ic2(решение, точка х, значение у в точке х, значение y' в точке х) – для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с начальным условием;

bc2(решение, точка х1, значение у в точке х1, точка х2, значение у в точке х2) – для решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с начальными условиями в виде двух точек;