Средняя квадратическая

Средняя квадратическая вычисляется по формуле:

, (6.5)

Она равна корню квадратному из суммы квадратов данных, деленной на их число.

Например, если имеется пять вариантов: 1, 4, 5, 5, 5, то средняя квадратическая:

.

Употребляется средняя квадратическая при расчете средних радиусов окружностей.

Пример

Измерения диаметров колоний, полученных от посева микробов определенного вида, дали следующие результаты (в мм): 15; 20; 10; 25; 30.

Для сравнения этого посева с другими требуется определить средний диаметр колоний. Применив формулу средней квадратической, имеем

.

Средняя арифметическая диаметров:

дает неправильную характеристику группы.

Это можно проверить по правилу единства суммарного действия.

Общая площадь всех пяти колоний была:

3, 14× (7, 5²+10²+5²+12, 5²+15²) = 1766, 25 мм².

Если взять пять кругов с одинаковым диаметром, равным средней арифметической μ = 20, то общая площадь составит 5× З, 14× 10² = 1570 мм², что гораздо меньше общей фактической площади.

Если же взять пять кругов с одинаковым диаметром, равным средней квадратической S = 21, 22 мм², то общая площадь будет 5× З, 14× 10, 61² = 1767, 4 мм², т. е. практически той же суммарной площади, которую имели пять измеренных колоний.

Мода

Модой, или модусом, называется такая варианта или класс распределения вариант, который в исследуемой группе особей встречается наиболее часто. В качестве примера рассмотрим распределение, представленное в таблице 6.2.

Таблица 6.2 – Пример распределения

Классы	100 – 119	120 – 139	140 – 159	160 – 179	180 – 199	200 – 219	220 – 239	240 – 259	260 – 279	280 – 299	300 – 319
Частоты

 

В этом распределении наиболее многочисленным является пятый класс (180 – 199) с частотой 250. Это модальный класс.

В качестве первого приближения можно принять за моду средину модального класса, т. е. 190.

Более точное значение моды можно получить по формуле:

, (6.6)

где:

М₀ – мода;

W_α – начало модального класса;

k – величина классового промежутка;

f₁ – частота класса, предшествующего модальному;

f₂ – частота модального класса;

f₃ – частота класса, следующего за модальным.

Для приведенного распределения W_α = l80, k = 20, f₁ = 160,
f₂ = 250, f₃ = 240 (таблица 6.3).

Следовательно, мода этого распределения

Обычно, если классы взяты не слишком мелкие, имеется всего один модальный класс.

В некоторых распределениях встречаются два или три модальных класса. Иногда это может быть следствием того, что в изучаемую группу попал разнородный материал, относящийся к разным категориям (более крупной и менее крупной) по изучаемому признаку.