Медиана

Медианой называют такое значение признака, которое разделяет всю группу на две равные части: одна часть имеет значения признака меньшее, чем медиана, а другая – большее.

Например, если имеется группа из 9 значений признака; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то медианой этой группы будет 5.

Для многочисленных групп медиану можно рассчитать по формуле:

, (6.7)

где:

М_е – медиана;

W_α – начало того класса, в котором находится медиана;

k – величина классового промежутка; n – общее число данных в группе;

– сумма частот классов (начиная с меньшего), предшествующих классу, в котором находится медиана;

f – частота класса, в котором находится медиана.

Нахождение медианы можно показать для распределения, представленного в таблице 6.3.

Таблица 6.3 – Пример нахождения медианы

Номера классов

Начала классов

100–120

120–140

140–160

160–180

180–200

200–220

220–240

240–260

260–280

280–300

300–320

Частоты

n=1000

Накопленные частоты

 

Судя по ряду накопленных частот, медиана находится в шестом классе, так как в первых пяти классах имеется 492 варианта, а меньше медианы должна быть половина всей группы, т. е. 500 вариантов. Недостающие до 500 восемь вариантов находятся в шестом классе.

Для данного распределения W_α = 200, k =20, = 492, f = 240, а медиана равна:

.

Медиана, обладая в полной мере всеми общими свойствами средних величин, дает начало целой серии показателей разнообразия, которые носят общее название квантилей. Квантиль – это такое значение признака, которое отсекает в распределении определенную часть вариантов больше себя и определенную часть вариантов меньше себя. К таким показателям относятся кроме медианы (средней величины) показатели, разнообразия: квартили, децили и перцентили.

Три квартиля разделяют группу на четыре равночисленные части. Второй квартиль равен медиане, а расстояние между третьим и первым квартилями является одним из показателей степени разнообразия значений признака в группе.

Девять децилей разделяют группу на десять равночисленных частей. Пятый дециль равен медиане, а расстояние между девятым и первым децилями служит одним из показателей разнообразия.

Девяносто девять перцентилей делят группу на сто равночисленных частей. Пятидесятый перцентиль равен, медиане; девяносто девятый и первый перцентиль используются иногда в качестве максимума и минимума группы; расстояние между девяносто девятым, и первым перцентилями служит показателем размаха признака и разнообразия вариантов в этой группе.