Основные теоретические сведения. Если под действием внешних нагрузок в сечениях стержня возникают только крутящие моменты, то такой случай нагружения называется кручением

Если под действием внешних нагрузок в сечениях стержня возникают только крутящие моменты, то такой случай нагружения называется кручением. Наиболее просто кручение можно получить, если к стержню приложить пары сил в плоскости, перпендикулярной его оси. При кручении стержня круглого поперечного сечения касательные напряжения определяются по формуле

, (1)

где t – касательные напряжения; – крутящий момент в сечении; – полярный момент инерции сечения; – расстояние от центра тяжести сечения до точки, в которой определяются касательные напряжения.

Для сплошного круглого сечения

= .

Для кольцевого (трубчатого) сечения

,

где d – внутренний диаметр стержня, D – наружный диаметр.

В стержнях круглого поперечного сечения касательные напряжения распределяются по линейному закону, причем наибольшие напряжения возникают на поверхности стержня при r = R (рис. 1а, 1б, 2).

Максимальные касательные напряжения могут быть определены по формуле

, (2)

где –полярный момент сопротивления сечения.

Для сплошного круглого сечения он равен

,

для кольцевого (трубчатого) сечения:

.

Угол закручивания при кручении стержня круглого сечения определяется по формуле

, (3)

где j – угол закручивания стержня в радианах; l – длина стержня; G – модуль упругости материала при сдвиге.

 

 

Рис. 1. Распределение касательных напряжений

 

 

Рис. 2. Распределение касательных напряжений в стержне круглого сечения

 

 

Решение задачи о кручении бруса с прямоугольным поперечным сечением не может быть получено методами сопротивления материалов в связи с тем, что для него неприменима гипотеза плоских сечений.

Распределение касательных напряжений в прямоугольном поперечном сечении приведено на рис. 1в. Оно получено методами теории упругости.

Наибольшие касательные напряжения возникают на поверхности по середине большей стороны прямоугольного сечения и определяются по формуле

. (4)

Угол закручивания стержня находят по формуле, аналогичной формуле (3)

. (5)

В формулах (4) и (5)момент сопротивления и момент инерции при кручении для прямоугольного сечения определяются по зависимостям, приводимым в учебной и справочной литературе.

Опыты проводятся на лабораторной установке (рис. 3).

Объектом исследования является ступенчатый стержень. На первом участке стержень имеет прямоугольное сечение, а на втором – трубчатое. Материал стержня – сталь. Размеры стержня указаны на этикетках каждой установки.

Испытуемый ступенчатый стержень 1 приварен одним концом к стойке 2. Второй конец опирается на опору 4 и через жестко соединенный рычаг 3 может нагружаться моментом относительно оси стержня. Нагружающее устройство установлено на П-образной стойке 7. Усилие на конце рычага 3 создается с помощью винтовой пары 5, а величина его определяется динамометром 6.

Для экспериментального определения угла закручивания стержня необходимо знать вертикальное перемещение какой-либо точки на рычаге 3. Для определения вертикального перемещения (d), на основание установки крепится индикатор 8 часового типа (рис. 3) на расстоянии от оси стержня (точка B). Угол закручивания стержня, определяют по зависимости:

.

Рис. 3. Лабораторная установка для испытания на кручение ступенчатого бруса

 

 

В сечениях I и II испытуемого стержня наклеены розетки тензорезисторов, с помощью которых можно определить деформации в этих сечениях, как при кручении стержня (данная работа), так и при совместном изгибе и кручении стержня (работа № 9).

Главные напряжения (как при чистом сдвиге) равны по величине касательным (s ₁ = t, s ₂ = 0, s ₃ = – t) и направлены под углами 45 и 135^° к оси стержня (рис. 4). Относительные линейные деформации e по главным направлениям связаны с относительными углами сдвига зависимостями

.

 

Рис. 4. Схема напряженного состояния в точке на поверхности стержня

при кручении

 

По закону Гука и, следовательно,

или .

Тензорезисторы для определения напряжений при кручении стержня экспериментальным путём следует наклеивать на поверхность стержня в направлении главных напряжений, то есть под углом или к оси стержня.

Эти тензорезисторы включаются в схему моста как активные R_A (рис. 5). Компенсационные R_К тензорезисторы вынесены на отдельную стальную пластинку и включены во второе плечо моста.