Построение математической модели задачи

Коммерческому отделу поручили проанализировать совместную деятельность подразделений фабрики по изготовлению и продаже двух видов продукции Р₁ и Р₂. Для производства продукции используют два вида сырья: А и В, максимально возможные суточные запасы которых составляют 3 и 4 т соответственно. Расход сырья на производство 1 т продукции приведен в таблице 2.1. Изучение конъюнктуры спроса на рынке сбыта показало, что суточный спрос на продукцию Р₂ никогда не превышал спроса на продукцию Р₁ более чем на 1, 5 т, а спрос на продукцию Р₂ не превышал 2 т в сутки.

Таблица 2.1

Какое количество продукции каждого вида необходимо производить предприятию, чтобы доход от ее реализации был максимальным? Цена 1 т продукции Р₁ - 20 тыс. руб., продукции Р₂ - 30 тыс. руб.

Решение: Построим модель задачи, используя представленную выше методику.

1. Переменные задачи.

В задаче требуется установить, сколько продукции каждого вида надо производить, поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются суточные объемы производства каждого вида продукции:

x₁ - суточный объем производства продукции Р₁ (т/сутки);

х₂ - суточный объем производства продукции Р₂ (т/сутки).

2. Целевая функция.

В условии задачи сформулирована цель - добиться максимального дохода от реализации продукции, т.е. критерием эффективности служит параметр суточного дохода, который должен стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи продукции обоих видов, необходимо знать объемы производства, т.е. x₁ и х₂ т продукции в сутки, а также цены на продукцию Р₁ и Р₂ - согласно условию 20 и 30 тыс. руб. за 1 т продукции соответственно. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства продукции Р₁ равен 20 х₁ тыс. руб. в сутки, а от продажи продукции Р₂ - 30 х₂ тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем целевую функцию в виде суммы дохода от продажи продукции Р₁ и Р₂.

(тыс. руб./сутки).

3. Ограничения.

Возможные объемы производства продукции х₁ и х₂ ограничиваются следующими условиями:

- количество сырья А и В, израсходованного в течение суток на производство продукции обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе;

- согласно результатам изучения рыночного спроса суточный объем производства продукции Р₂ может превышать объем производства продукции Р₁ не более чем на 1, 5 т, а спрос на продукцию Р₂ никогда не превышал 2 т в сутки;

- объем производства продукции не может быть выражен отрицательными значениями.

Запишем эти ограничения в математической форме.

Ограничение по расходу сырья А имеет вид:

(т/сутки).

Левая часть ограничения - это расчет суточного расхода ресурса А на производство продукции обоих видов. Расход сырья А на производство 1 т продукции Р₁ - 0, 5 т; на производство 1 т продукции Р₂ - 1 т. Тогда на производство х₁ т продукции Р₁ и х₂ т продукции Р₂ потребуется (0, 5 х₁ + l x₂) т сырья А. Правая часть ограничения - это величина суточного запаса сырья на складе - 3 т.

Аналогична запись ограничения по расходу сырья В:

(т/сутки).

Ограничение по суточному объему производства продукции Р₁ по сравнению с объемом производства продукции Р₂ имеет вид:

(т/сутки).

Ограничение по суточному объему производства продукции Р₂:

(т/сутки).

Неотрицательность объемов производства задается как

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:

; (2.4)

(2.5)

Экономико-математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти такой план производства продукции , удовлетворяющий системе ограничений (2.5), при котором целевая функция (2.4) принимает максимальное значение.

Пример 2. Задача о составлении рациона (задача о диете).

Для осуществления жизнедеятельности человеку среднего возраста ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг продукта, а также стоимость этих продуктов в магазине приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Требуется составить суточный рацион, содержащий не менее указанного количества необходимых питательных веществ и обеспечивающий минимальную стоимость закупаемых продуктов.

Решение. Построим экономико-математическую модель задачи.

1. Искомыми величинами в задаче является количество покупаемого каждого вида продукта, входящего в суточный рацион человека (мясо, рыба, масло, картофель, сыр, крупа), поэтому переменными задачи выступают:

х₁ - количество мяса, кг/сутки;

х₂ - количество рыбы, кг/сутки;

х₃ - количество масла, кг/сутки;

х₄ - количество картофеля, кг/сутки;

х₅ - количество сыра, кг/сутки;

х₆ - количество крупы, кг/сутки.

2. Цель в задаче - обеспечение минимальной общей стоимости закупаемых продуктов. Тогда целевая функция выглядит так:

.

3. Возможный суточный рацион человека ограничивается двумя группами условий: расходом питательных веществ; неотрицательностью количества продуктов, входящих в рацион. Запишем эти ограничения в математической форме.

Ограничение

1) по количеству белков, г:

;

2) по количеству жиров, г

;

3) по количеству углеводов, г

;

4) по количеству минеральных солей, г

;

5) неотрицательности переменных, кг

Таким образом, математическая модель задачи имеет вид:

(2.6)

,

,

, (2.7)

,

Экономико-математическая модель задачи заключается в следующем: составить такой суточный рацион , удовлетворяющий системе ограничений (2.7), и при котором целевая функция (2.6) принимает минимальное значение.