Примеры решения задач. Задача 1. Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравнением (

Задача 1. Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравнением ( = 2 м/с, = 3 м/с², = 5 м/с³). Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени после начала движения пройденный путь, скорость и ускорение.

Дано: ; ; ; ; .	Решение: Для определения зависимости скорости движения тела от времени определяем первую производную от пути по времени: , или после подстановки Для определения зависимости ускорения движения тела от времени определяем первую производную от скорости по времени: , или послеподстановки . Пройденный путь определяется как разность .

Ответ:

Задача 2. Тело брошено со скоростью под углом к горизонту. Принимая тело за материальную точку, определите нормальное и тангенциальное ускорение тела через 1, 2 с после начала движения.

Дано: ; ; ; .	Решение Построим чертеж и определим проекции скорости в начальный момент времени: , . a Рис.1.1

Проекция в процессе движения точки остается постоянной по величине и направлению.

Проекция на ось изменяется. В точке С (рис 1.1) скорость направлена горизонтально, т.е. . Это означает, что , где - время, в течение которого материальная точка поднимается до максимальной высоты, или после подстановки .

К моменту времени 1, 2 с тело будет находиться на спуске. Полное ускорение в процессе движения направлено вертикально вниз и равно ускорению свободного падения . Нормальное ускорение равно проекции ускорения свободного падения на направление радиуса кривизны, а тангенциальное ускорение - проекции ускорения свободного падения на направление скорости движения (см. рис.1.1).

 

Из треугольников скоростей и ускорений имеем:

, ,

откуда , ,

где - скорость в момент времени

После подстановки получаем:

.

.

Ответ: , .

Задача 3. Колесо автомобиля вращается равнозамедленно. За время 2 мин оно изменило частоту вращения от 240 до 60 мин^-1. Определите: 1) угловое ускорение колеса; 2) число полных оборотов, сделанных колесом за это время.

 

Дано:	Решение: Запишем формулы для угла поворота и угловой скорости при равнозамедленном вращении: (1)
	(2)

где - угловые скорости в начальный и конечный моменты времени соответственно.

Из уравнения (2) получаем:

.

Угол поворота . Поэтому выражение (1) можно записать так: .

Отсюда: .

Ответ: ; .

Задача 4. Точка движется по окружности радиусом так, что зависимость угла поворота радиуса от времени дается уравнением , где , . Определите к концу второй секунды вращения: а) угловую скорость; б) линейную скорость; в) угловое ускорение; г) нормальное ускорение; д) тангенциальное ускорение.

Дано: ; .	Решение: Зависимость угловой скорости от времени определяем, взяв первую производную от угла поворота по времени, т.е. . Для момента времени , . Линейная скорость точки , или после подстановки .
Зависимость углового ускорения точки от времени определится первой производной от угловой скорости по времени, т.е. . Для момента времени . Нормальное и тангенциальное ускорения определяются по формулам соответственно:
и . Ответ: ; ; ; ; .