Примеры решения задач. Задача 1. Найдите момент инерции шара радиусом относительно оси , находящейся на расстоянии

Задача 1. Найдите момент инерции шара радиусом относительно оси , находящейся на расстоянии от поверхности шара (рис.3.1).

Дано: ,	Решение: Записываем теорему Штейнера:
	где ,

- момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр масс; - расстояние между осями. Получаем: .

Рис.3.1

Задача 2. На шнуре, перекинутом через блок в виде однородного цилиндра массой подвешены грузы массами и . Считаем нить невесомой и пренебрегаем трением в блоке. С каким ускорением движутся грузы? Каковы силы натяжения шнура, действующие на грузы во время движения?

Дано: Решение:

; ; .	Делаем рисунок, расставляем силы, дейстующие на каждое тело и на блок (рис. 3.2): Рис.3.2

Записываем второй закон Ньютона для каждого тела в векторной и скалярной форме:

(1)

Для блока записываем основное уравнение динамики вращательного движения в векторной и скалярной форме:

, (2)

где - момент сил, - момент инерции блока; - угловое ускорение блока. Подставляя эти выражения в (2), получаем:

, т.е. . (3)

Решая совместно уравнения (1) и (3), получаем:

. Отсюда:

,

, .

Подставляем числа: ,

,

.

Ответ: , , .

 

Задача 3. Шар и обруч одинаковой массы и радиуса, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии обруча?

 

Дано: Решение:

	Кинетическая энергия тела, катящегося по поверхности, складывается из кинетической энергии вращательного движения и поступательного движения центра масс:

. (1)

Моменты инерции относительно центра масс обруча (2) и шара (3). Связь линейной и угловой скорости - (4). Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получаем:

- для обруча,

- для шара.

Ответ: в 1, 4 раза.