ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести. Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела. Центр тяжести есть геометрическая точка, которая может лежать вне тела (например, кольцо, цилиндр с отверстием). Координаты центра тяжести находят по формулам:

х_{с =} ∑ (G_ix_i)/ ∑ G_i; y_{с =} ∑ (G_iy_i)/ ∑ G_i

где х_с, y_с - координаты частицы; ∑ G_i - сила тяжести всего тела

в случае однородных тел по таким же формулам можно определить координаты центра тяжести объемов, площадей и линий.

Центр тяжести определяют методами: метод симметрии, метод разбиения, метод отрицательных масс, метод взвешивания

Метод симметрии опирается на положения:

1. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости;

2. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела лежит на этой оси;

3. Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести тела лежит в точке их пересечения;

4. Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

Метод разбиения заключается в том, что тело разбивают на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны, после чего применяют известные формулы: х_{с =} ∑ (G_ix_i)/ ∑ G_i; y_{с =} ∑ (G_iy_i)/ ∑ G_i

Метод отрицательных масс. Этот метод заключается в том, что тело, имеющее свободные полости, полагают сплошным, а массу свободных полостей считают отрицательной. Вид формул для определения координат центра тяжести при этом не меняется.

Метод подвешивания. Если тело в виде пластины любой формы подвесить на нити в любой точке (например А), то при равновесии центр тяжести тела обязательно займет положение по вертикали, проходящей через точку А, так как при таком положении центра тяжести сила тяжести и реакция нити уравновешивают друг друга. С помощью отвеса отметим на теле линию А-А1, на которой расположен искомый центр тяжести. Подвесив затем тело на нити в другой точке, например В, получим линию В-В1, которая пересечением с линией А-А1 фиксирует положение центра тяжести – точку С.

Положения центра тяжести некоторых фигур:

1. Прямоугольник – центр тяжести лежит в точке пересечения его диагоналей.

2. Треугольник – центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан, на расстоянии одной трети высоты от каждого основания.

3. Дуга окружности: Xc = (Rsinα /) α

4. Круговой сектор: Xc = (2Rsin α /) 3α

Порядок определение положения центра тяжести плоской фигуры:

1. Разбивают сечение на простые фигуры.

2. Указывают центры тяжести каждого профиля (фигуры) и обо­значают их С1 С₂,..., С_п,

3. Выбирают систему координатных осей. В задачах для само­стоятельной работы все сечения имеют одну ось симметрии, по этому рекомендуется одну из координатных осей совмещать с ней. Вторую ось координат направляют перпендикулярно первой так, чтобы она пересекла центры тяжести одной или нескольких фигур. При этом начало координат может совпадать (или не сов падать) с центром тяжести одной из фигур. Вторую ось можно направить так, чтобы она прошла через нижнюю (крайнюю) точ­ку сечения. В первом случае вычисления будут более простыми.

4. Составляют формулы для определения координат центра тяжести сечения:

A₁x₁ + A₂x₂ +A₃x₃ + … + A_nx_n

Xc = ---------------------------------- (1)

A₁+A₂+A₃+ … + A_n

 

A₁y₁ + A₂y₂ +A₃y₃ + … + A_ny_n

Yc = ---------------------------------- (2)

A₁+A₂+A₃+ … + A_n

Где А₁, А₂, А₃ – площади профилей; х₁, х₂, х₃, …у₁, у₂, у₃ - координаты их центров тяжести относительно выбранных осей координат.

Число слагаемых в числителе и знаменателе формул зависит от числа профилей, из которых состоит сечение. Полученные величины подставляют в формулу и находят х_с и у_с.

Следует помнить, что если ось х совмещена с осью симмет­рии, то координата у_с= 0, а если ось усовмещена с осью сим­метрии, то х_с = 0.

5. Указывают положение центра тяжести на рисунке, придер­живаясь определенного масштаба, и показывают расстояние от центра тяжести до координатных осей.

6. Выполняют проверку правильности решения, для чего можно изменить положение координатных осей (или одной оси) и найти координаты центра тяжести относительно новых осей. Поло­жение центра тяжести не зависит от того, как выбрана система координатных осей.

ПРИМЕР: Определить положение центра тяжести сечения, состоящего из простых геометрических фигур.

РЕШЕНИЕ:

1. Разобьем сечение на простые фигуры: прямоугольник (1), прямоугоник (2), треугольники -3 и 4, круг -5.

2. Укажем центры тяжести полученных простых фигур – С₁, С₂, С₃, С₄, С₅.

3. Выберем систему координат. Ось Х проведем через центр тяжести С₂ прямоугольника 2 (в виду симметричности фигуры, ее центр тяжести лежит на оси симметрии, т.е. Х_с =0), а ось У совместим с осью симметрии сечения (она пройдет через центры тяжести

круга 5, прямоугольника 1).

4. Определим площади отдельных фигур и их центры тяжести:

· Прямоугольник 1 А₁ = 40*8 = 320 см²

Х₁ = 0; У₁= (50-8)/2 + 8/2 =25 см

· Прямоугольник 2 А₂ = 9(50-8) = 378 см²

Х₂ =0; У₂=0

· Треугольник 3, 4 А₃ = А₄= 7, 5(50-8)/2 = 157, 5 см²

У₃=У₄ = (50-8)/2 – (50-8)/3 = 7 см

 

· Круг -5 А5 = π d²/4 = 3, 14*6*6/4= 28, 3 см²

У₅ = (50\2) – 6\2 = 18 см; Х₅ = 0

5. Определяем центр тяжести фигуры:

 

 

A₁y₁ + A₂y₂ + 2A₃y₃ - A₅y₅

Yc = ---------------------------------- =

A₁+A₂+ 2A₃- A₅

 

 

(320*25+378*0 +2*157, 5*7 – 28.3*180)

(320+378+2*157, 5-28, 7) =

= 9, 84 см; Х_с = 0

 

ЗАДАНИЕ: в соответствии со своим вариантом провести расчет координат центра тяжести плоской фигуры.