.
9. Угловое ускорение:
.
10. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности:
,
где
- линейная скорость:
и
- тангенциальное и нормальное ускорения,
- угловая скорость,
- угловое ускорение,
- радиус окружности.
11. Полное ускорение:
.
12. Угол между полным ускорением
и нормальным ускорением
:
.
13. Уравнение гармонических колебаний материальной точки:
,
где
- смещение, А - амплитуда колебаний,
- угловая или циклическая частота,
- начальная фаза.
14. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания:
.
15. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:
.
16. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:
а) амплитуда результирующего колебания:
.
б) начальная фаза результирующего колебания
.
17. Уравнения, описывающие траекторию точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:
.
a)
, (если разность фаз
),
б)
, (если разность фаз
),
в)
, (если разность фаз
).
18. Уравнение плоской бегущей волны:
,
где y – смещение любой из точек среды с координатой
в момент
,
- скорость распространения колебания в среде.
19. Связь разности фаз колебаний
с расстоянием между точками среды
, отсчитанными в направлении распространения колебаний
,
где
- длина волны.
20. Импульс материальной точки с массой m, движущейся поступательно со скоростью
:
.
21. Второй закон Ньютона:
,
где
- сила, действующая на тело.
22. Силы, рассматриваемые в механике:
а) сила упругости:
,
где
- коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость),
- абсолютная деформация,
б) сила тяжести
.
в) сила гравитационного взаимодействия
,
где
- гравитационная постоянная,
и
- массы взаимодействующих тел, r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность G гравитационного поля:
.
г) сила трения (скольжения)
,
где m - коэффициент трения, N - сила нормального давления.
23. Закон сохранения импульса:
,
или для двух тел (i = 2),
,
где
и
- скорости тел в момент времени, принятый за начальный,
и
- скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.
24. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:
или
.
25. Потенциальная энергия:
а) упругодеформированной пружины:
,
где
- жесткость пружины,
- абсолютная деформация.
б) гравитационного взаимодействия:
,
где
- гравитационная постоянная,
и
- массы взаимодействующих тел, r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки),
в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:
,
где
- ускорение свободного падения,
- высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии
, где
- радиус Земли)
26. Закон сохранения механической энергии:
.
27. Работа
, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы:
.
28. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:
,
где
- результирующий момент внешних сил, действующих на тело,
- угловое ускорение,
- момент инерции тела относительно оси вращения.
29. Момент инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:
а) стержня длины
относительно оси, перпендикулярной стержню,
.
б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),
,
где
- радиус обруча (цилиндра),
в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,
.
30. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси:
,
где
и
- момент инерции системы тел и угловая скорость вращения в момент времени, принятый за начальный,
и
- момент инерции и угловая скорость в момент времени, принятый за конечный.
31. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси:
,
где
- угловая скорость тела.
32. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:
или
.
1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид:
, где A = 2 м, B = 1 м/с, C = 0, 5 м/с3. Найти координату
, скорость
и ускорение
точки в момент времени t = 2 c.
Решение: Координату
найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B, C и времени t:
.
Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:

в момент времени t = 2 c.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
.
В момент времени t = 2 c.
.
Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
, где
,
,
. Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0, 1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c.
Решение: Полное ускорение

тела, движущегося по криволинейной
траектории, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения
, направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения
, направленного к центру кривизны траектории (Рис. 1):

Так как векторы
и
взаимно перпендикулярны, то абсолютное значение ускорения
(1)
Тангенциальное и нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:

где
- угловая скорость тела,
- угловое ускорение. Подставляя найденные выражения для
в формулу (1), находим
(2)
Угловую скорость найдем, взяв производную от угла поворота по времени:

В момент времени t = 4 c угловая скорость
= (20+2(-2)4) = 4 рад/с.
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

Это выражение не содержит времени, следовательно, угловое ускорение данного движения постоянно. Подставляя найденные значения
и
, и заданное значение
в формулу (2) получим

Пример 3. Шар массой
, движущийся горизонтально с некоторой скоростью
, столкнулся cнеподвижным шаром массой
. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?
Решение: Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится отношением:
(1)
где
– кинетическая энергия первого шара до удара,
,
- скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.
Как видноиз формулы (3), для определения
надо найти
. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами, найдем
. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим.
(2)
позакону механической энергии
(3)
решая совместно уравнения (2) и (3), найдем
(4)
Подставимвыражение (4) в формулу (1) и, сократив на
, получим
.
Из полученного соотношения видно, что доля переданной энергии не изменится, если шары поменяются местами.
Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу
= 80 г. (Рис. 2) перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами
= 100 г и
= 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением нити пренебречь.

Рис. 2
Решение: Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движения. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: силы тяжести
и сила упругости (сила натяжения нити)
. Спроектируем эти силы на ось
, которую направим вертикально вниз и напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:
(1)
Уравнение движения для второго груза запишется аналогично:
(2)
Под действием двух моментов сил
и
относительно оси
, перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение
. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения
(3)
где
момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z. Согласно третьему закону Ньютона, силы
и
по абсолютному значению равны силам
и
.Воспользовавшись этим, поставим в уравнение (3) вместо
и
выражения для
и
, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

После сокращения на
и перегруппировки найденных членов найдем интересующее нас ускорение.
(4)
Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная.
Поэтому массы
и
можно выразить в граммах, так, как они даны в условии задачи. Ускорение надо выразить в единицах СИ. После подстановки получим:

Пример 5. Маховик в виде сплошного диска радиусом
= 0, 2 м и массой
= 50 кг раскручен до частоты вращения
= 480 мин-1 и предоставлен самому себе. Под действием силы трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент
сил трения.
Решение: Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде:
(1)
где
- изменение момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени
,
- момент внешних сил (в нашем случае момент сил трения), действующих на маховик относительно той же оси. Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (
), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению
(2)
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса:
(3)
где
- момент инерции маховика относительно оси z,
- изменение угловой скорости маховика. Приравняв правые части равенства (2) и (3), получим

откуда
(4)
Момент инерциимаховика в виде сплошного диска определяется по формуле
(5)
Изменение угловой скорости
выразим через конечную
и начальную
частоты вращения, пользуясьсоотношением
. Подставив в формулу(4)найденное выражение
и
, получим
(5)
Проверим, совпадают ли размерности правой и левой частей равенства (5). Размерность левой части:

Размерность правой части:

что совпадает с размерностью левой части. Выпишем величины, входящие в формулу (5) и произведем вычисления:
= 50 кг,
= 0, 2 м,
= 480 мин,
= 0, Dt = 50 с

Знак минус показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.
Пример 6. Точка совершает гармонические колебания с частотой 10 Гц. В момент времени, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение
= 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить график.
Решение: Уравнение колебаний точки можно записать в виде
(1)
или
(2)
где
- амплитуда колебаний,
- циклическая частота,
- время,
и
- начальные фазы, соответствующие форме записи (1) и (2). По определению, амплитуда колебаний
. (3)
Циклическая частота связана с частотой
соотношением
. (4)
Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если использовать формулу (1), то начальную фазу можно определить из условия в момент t = 0:

откуда
,
или
(5)
Изменение фазы на
не изменяет состояния колебательного движения, поэтому можно принять
(6)
В случае второй формы записи получаем

или 
По тем же соображениям, что и в первом случае, находим
(7)
С учетом равенства (3) - (6) уравнения колебаний будут иметь вид:

где x max = 1 мм = 10-3 м , v = 10 Гц.