ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. Компьютерная верстка М.В.Развозжаевой

.

9. Угловое ускорение:

.

10. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности:

,

где - линейная скорость: и - тангенциальное и нормальное ускорения, - угловая скорость, - угловое ускорение, - радиус окружности.

11. Полное ускорение:

.

12. Угол между полным ускорением и нормальным ускорением :

.

13. Уравнение гармонических колебаний материальной точки:

,

где - смещение, А - амплитуда колебаний, - угловая или циклическая частота, - начальная фаза.

14. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

15. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

.

16. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания:

.

б) начальная фаза результирующего колебания

.

17. Уравнения, описывающие траекторию точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

.

a) , (если разность фаз ),

б) , (если разность фаз ),

в) , (если разность фаз ).

18. Уравнение плоской бегущей волны:

,

где y – смещение любой из точек среды с координатой в момент , - скорость распространения колебания в среде.

19. Связь разности фаз колебаний с расстоянием между точками среды , отсчитанными в направлении распространения колебаний ,

где - длина волны.

20. Импульс материальной точки с массой m, движущейся поступательно со скоростью :

.

21. Второй закон Ньютона: ,

где - сила, действующая на тело.

22. Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости: ,

где - коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость), - абсолютная деформация,

б) сила тяжести .

в) сила гравитационного взаимодействия ,

где - гравитационная постоянная, и - массы взаимодействующих тел, r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность G гравитационного поля:

.

г) сила трения (скольжения) ,

где m - коэффициент трения, N - сила нормального давления.

23. Закон сохранения импульса:

,

или для двух тел (i = 2),

,

где и - скорости тел в момент времени, принятый за начальный, и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

24. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:

или .

25. Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины:

,

где - жесткость пружины, - абсолютная деформация.

б) гравитационного взаимодействия:

,

где - гравитационная постоянная, и - массы взаимодействующих тел, r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки),

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:

,

где - ускорение свободного падения, - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии , где - радиус Земли)

26. Закон сохранения механической энергии:

.

27. Работа , совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы:

.

28. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси:

,

где - результирующий момент внешних сил, действующих на тело, - угловое ускорение, - момент инерции тела относительно оси вращения.

29. Момент инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс:

а) стержня длины относительно оси, перпендикулярной стержню,

.

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

,

где - радиус обруча (цилиндра),

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

.

30. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси:

,

где и - момент инерции системы тел и угловая скорость вращения в момент времени, принятый за начальный, и - момент инерции и угловая скорость в момент времени, принятый за конечный.

31. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси:

,

где - угловая скорость тела.

32. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси:

или .

 

1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид: , где A = 2 м, B = 1 м/с, C = 0, 5 м/с³. Найти координату , скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 c.

Решение: Координату найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B, C и времени t:

.

Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:

в момент времени t = 2 c.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

.

В момент времени t = 2 c.

.

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где , , . Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0, 1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c.

Решение: Полное ускорение тела, движущегося по криволинейной

траектории, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (Рис. 1):

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то абсолютное значение ускорения

(1)

Тангенциальное и нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:

где - угловая скорость тела, - угловое ускорение. Подставляя найденные выражения для в формулу (1), находим

(2)

Угловую скорость найдем, взяв производную от угла поворота по времени:

В момент времени t = 4 c угловая скорость = (20+2(-2)4) = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

Это выражение не содержит времени, следовательно, угловое ускорение данного движения постоянно. Подставляя найденные значения и , и заданное значение в формулу (2) получим

Пример 3. Шар массой , движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся cнеподвижным шаром массой . Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение: Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится отношением:

(1)

где – кинетическая энергия первого шара до удара, , - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

Как видноиз формулы (3), для определения надо найти . При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами, найдем . По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим.

(2)

позакону механической энергии

(3)

решая совместно уравнения (2) и (3), найдем

(4)

Подставимвыражение (4) в формулу (1) и, сократив на , получим

.

Из полученного соотношения видно, что доля переданной энергии не изменится, если шары поменяются местами.

Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу = 80 г. (Рис. 2) перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами = 100 г и = 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением нити пренебречь.

 

Рис. 2

Решение: Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движения. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: силы тяжести и сила упругости (сила натяжения нити) . Спроектируем эти силы на ось , которую направим вертикально вниз и напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме:

(1)

Уравнение движения для второго груза запишется аналогично:

(2)

Под действием двух моментов сил и относительно оси , перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения

(3)

где момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z. Согласно третьему закону Ньютона, силы и по абсолютному значению равны силам и .Воспользовавшись этим, поставим в уравнение (3) вместо и выражения для и , получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

После сокращения на и перегруппировки найденных членов найдем интересующее нас ускорение.

(4)

Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная.

Поэтому массы и можно выразить в граммах, так, как они даны в условии задачи. Ускорение надо выразить в единицах СИ. После подстановки получим:

Пример 5. Маховик в виде сплошного диска радиусом = 0, 2 м и массой = 50 кг раскручен до частоты вращения = 480 мин^-1 и предоставлен самому себе. Под действием силы трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент сил трения.

Решение: Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде:

(1)

где - изменение момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени , - момент внешних сил (в нашем случае момент сил трения), действующих на маховик относительно той же оси. Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени ( ), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению

(2)

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса:

(3)

где - момент инерции маховика относительно оси z, - изменение угловой скорости маховика. Приравняв правые части равенства (2) и (3), получим

откуда

(4)

Момент инерциимаховика в виде сплошного диска определяется по формуле

(5)

Изменение угловой скорости выразим через конечную и начальную частоты вращения, пользуясьсоотношением . Подставив в формулу(4)найденное выражение и , получим

(5)

Проверим, совпадают ли размерности правой и левой частей равенства (5). Размерность левой части:

Размерность правой части:

что совпадает с размерностью левой части. Выпишем величины, входящие в формулу (5) и произведем вычисления: = 50 кг, = 0, 2 м, = 480 мин, = 0, Dt = 50 с

Знак минус показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.

Пример 6. Точка совершает гармонические колебания с частотой 10 Гц. В момент времени, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение = 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить график.

Решение: Уравнение колебаний точки можно записать в виде

(1)

или

(2)

где - амплитуда колебаний, - циклическая частота, - время, и - начальные фазы, соответствующие форме записи (1) и (2). По определению, амплитуда колебаний

. (3)

Циклическая частота связана с частотой соотношением

. (4)

Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если использовать формулу (1), то начальную фазу можно определить из условия в момент t = 0:

откуда

,

или

(5)

Изменение фазы на не изменяет состояния колебательного движения, поэтому можно принять

(6)

В случае второй формы записи получаем

или

По тем же соображениям, что и в первом случае, находим

(7)

С учетом равенства (3) - (6) уравнения колебаний будут иметь вид:

где x _max = 1 мм = 10^{-3 м} , v = 10 Гц.