СОВЕРШЕННО СЕКРЕТНО! ТОЛ ЬКО

 

Оглавление.

§ 1. Общая постановка задачи.................................................................................................................... 3

§ 2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши................................................................................ 3

§ 3. Метод конечных разностей................................................................................................................. 4

§ 4. Метод Галеркина.................................................................................................................................. 5

§ 5. Метод прогонки.................................................................................................................................... 6

§ 6. Программы............................................................................................................................................ 7

§ 7. Результаты........................................................................................................................................... 12

§ 1. Общая постановка задачи.

В курсовой работе по численным методам требуется решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения вида: Решение необходимо произвести независимо тремя методами:

1. Методом сведения краевой задачи к задаче Коши.

2. Методом конечных разностей.

3. Методом Галёркина.

Задание (вариант № 28).

 

§ 2. Метод сведения краевой задачи к задаче Коши.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение:

(1),

где функции: p(x), q(x), f(x) непрерывны. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:

(2),

где: - заданные константы, причем: и

Решение будем искать в виде:

y = cu + v (3),

где: u = u(x) – ненулевое решение соответствующего неоднородного уравнения:

(4),

а v = v(x) – какое-нибудь решение данного неоднородного уравнения (1):

(5).

Очевидно, что функция, определенная формулой (3) является искомым решением уравнения (1), где с – произвольная постоянная.

Потребуем, чтобы первое краевое условие (2) выполнялось для y при любом с. Используя его, будем иметь:

или:

(6).

Для того чтобы последнее равенство было справедливо при любом с, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при с обращался в 0, т.е., было выполнено следующее:

(7),

(8).

Для обеспечения равенств (7-8) достаточно, например, положить:

(9),

где: k – постоянная, отличная от 0;

(10),

если и:

(11),

если

Отсюда видно, что u есть решение задачи Коши для однородного уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (9), а v есть решение задачи Коши для неоднородного уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям (10) или (11). При этом для любого с функция y = cu + v удовлетворяет краевому условию на конце x = a.

Подберем постоянную c так, чтобы функция y удовлетворяла краевому условию (2) на другом конце отрезка y = b. Это дает: откуда: При этом предполагается, что знаменатель этого выражения отличен от нуля:

(12).

Таким образом, краевая задача (1-2) сведена к двум задачам Коши для функций u(x) и v(x).

Замечание 1. Если выполнено условие (12), то краевая задача (1-2) имеет единственное решение. Если же условие не выполняется по каким-либо причинам, то исходная задача может либо –вообще не иметь решений, либо их бесчисленное множество.

Замечание 2. Если исходное уравнение (1) является однородным, т.е.: f(x) º 0, и кроме того, A = 0, то в силу условий (10) или(11) имеем: т.е., v º 0. Поэтому: y = cu(x), где u(x) – решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям (9). Очевидно, в этом случае:

 

§ 3. Метод конечных разностей.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение:

(1)

с линейными двухточечными краевыми условиями:

(2)

При этом снова полагаем: Функции p(x), q(x), f(x) непрерывны на [ a; b ].

Одним из наиболее простых методов решения этой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений. Разобьем отрезок [a; b] на n равных частей длины h (шаг), причем: Точки разбиения имеют абсциссы: x_i = x 0 + ih (i = 0, 1, 2, …, n); x ₀ = a, x_n = b (см. рис. 1).

Значения искомой функции y(x) в точках деления x_i и ее производных обозначим через: Введем, кроме того, еще несколько новых обозначений:

Заменяя производные правыми односторонними конечно-разностными отношениями, для внутренних точек отрезка x_i будем приближенно иметь:

(3).

Для концевых точек x ₀ = a, x_n = b полагаем:

(4).

Используя формулы (3), дифференциальное уравнение (1) можно при x = x_i (i = 1, 2, …, n -1) приближенно заменить линейной системой уравнений:

(i = 1, 2, …, n -1) (5).

Кроме того, в силу формул (4) краевые условия (2) дополнительно дают еще 2 уравнения:

(6).

Таким образом, мы получили линейную систему n + 1 уравнений с n + 1 неизвестными y ₀, y ₁, …, y_n, которые представляют собой не что иное, как значения искомой функции y = y(x) в точках x ₀, x ₁, …, x_n. Решив такую систему, получим таблицу значений искомой функции y.

Замечание. Более точные формулы получаются, если воспользоваться симметричными конечно-разностными отношениями:

(i = 1, 2, …, n – 1) (7).

Для производных в концевых точках в общем случае приходится использовать формулы (4). Отсюда приходим к системе:

(8).

Для решения систем подобного рода разработан и применяется так называемый метод прогонки, о котором речь пойдет в § 5.

 

§ 4. Метод Галеркина.

Данный метод основан на одной теореме из теории общих рядов Фурье.

Теорема. Пусть: { u_n(x) } – полная система функций с ненулевой нормой, ортогональных на отрезке [ a; b ]. Если непрерывная функция f(x) ортогональна на отрезке [ a; b ] ко всем функциям u_n(x), т.е.:

(n = 1, 2, …) (1),

то: f(x) º 0 при a £ x £ b.

Замечание. Под нормой подразумевается:

Переходим к рассмотрению метода Галеркина. Пусть имеется линейная краевая задача:

L[y] = f(x) (2),

где: и есть краевые линейные условия:

(3)

(при этом снова предполагается, что: ).

Выберем конечную систему базисных функций { u_i(x) }(i = 0, 1, …, n), составляющих часть некоторой полной системы, причем позаботимся, чтобы функция u ₀(x) удовлетворяла неоднородным краевым условиям: а функции u_i(x) (i = 1, 2, …, n) удовлетворяли бы однородным краевым условиям: (i = 1, 2, …, n). Решение краевой задачи (2-3) будем снова искать в виде:

(4).

При нашем подборе базисных функций u_i(x) функция y, очевидно, удовлетворяет краевым условиям (3) при любом выборе коэффициентов C_i. Если (4) подставить в (2), то получим невязку: Для точного решения исходной задачи: R º 0, поэтому для получения приближенного решения, близкого к точному, нам выгодно подобрать коэффициенты C_i так, чтобы R ® 0.

Согласно методу Галеркина, требуем, чтобы невязка R была ортогональна базисным функциям, что при достаточно большом числе этих функций обеспечивает малость невязки в среднем.

Для определения коэффициентов C_i приходим к системе линейных уравнений:

или, более подробно: (i = 1, 2, …, n).

 

§ 5. Метод прогонки.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (1)[1] с двухточечными линейными краевыми условиями (2). От дифференциального уравнения (1) обычным приемом переходят к конечно- разностным уравнениям. Для этого разобьем отрезок [ a; b ] на n равных частей с шагом Полагая; и вводя обозначения:

p_i = p(x_i), q_i = q(x_i), f_i = f(x_i), y_i = y(x_i),получаем при x ₌ x_i вместо дифференциального уравнения (1) следующее конечно-разностное уравнение

Отсюда после упрощения будем иметь:

(3),

Введя обозначения: будем иметь:

(i = 0, 1, 2, …, n – 2) (4),

причем из краевых условий (2) имеем

(5).

Линейная система (4),(5) состоит из n + 1 уравнений относительно n + 1 неизвестных Эту систему можно решить обычным способом. Однако существует более короткий.

Разрешая уравнение (4) относительно y _{i +1},находим:

(6).

Предположим, что с помощью полной системы (4) из уравнения исключен член, содержащий y_i. Тогда уравнение (6) может быть записано в виде:

(7),

где коэффициенты подлежат определению. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i =0 из формулы (6) и краевых условий (5) следует, что:

Исключая отсюда y, будем иметь: Разрешая это уравнение относительно y ₁, будем иметь: (8).

Но согласно формуле (7) имеем:

(9).

Отсюда, сравнивая формулы (8) и (9), находим:

 

(10).

Пусть теперь i>0 (i=1,2,.....n-2). Выражая y_i поформуле (7), получим: Подставляя это в (6), имеем: Разрешая это относительно y_{i + 1} будем иметь: или:

(11).

Отсюда, сравнивая формулы (7) и (11), получаем для коэффициентов С_i и D_i рекуррентные формулы:

(12).

На основании формул (12), используя формулы (10) для С ₀ и D ₀, можно последовательно определить коэффициенты Сi и Di (i =1, 2,..., n - 2) до С_{n -2} и D_{n -2} включительно (прямой ход). Из формулы (7) при i = n - 2 и второго краевого условия (5) получаем:

Теперь используя формулу (7) и первое краевое условие (5), мы можем последовательно найти y_{n -1}, y_{n -2,} ..., y ₀ (обратный ход).

 

§6. Программы.

1. Метод сведения к задаче Коши.

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#define p(x) (-3*(x))

#define q(x) (-4)

#define r(x) (1)

#define N 500

#define EPS 0.0001

void runge_kutt (void);

int n;

double y[N];

double a=1, b=1.6, A=-3.3, B=-2;

double h=0.06, x;

main ()

{

int i, t;

double y1[N], eps[N], max_eps;

for (i=0;i<N;i++) y1[i]=0;

clrscr ();

do

{

for(i=0;i<=n;i++) y1[i]=y[i];

n=(b-a)/h+.5;

if (n>N)

{

printf ("\n Ошибка: выход за пределы массива ");

getch ();

return 0;

}

runge_kutt ();

max_eps=0;

for (i=0;i<=n/2;i++)

{

eps[i]=fabs(y[2*i]-y1[i]);

if (eps[i]>max_eps) max_eps=eps[i];

}

h/=2;

}

while (max_eps>EPS);

clrscr ();

printf (" Решение краевой задачи дли дифференциального уравнения \n\

II- порядка с точностью Е = %методом сведения к задаче Коши \n\n",EPS);

 

printf ("ЙНННННННННННННЛННННННННННННННННННННННЛННННННННННННННННННН»\n");

for (i=0;i<=n/2;i+=(0.06/(h*4)+0.06))

printf ("є x = %.2f є y(x) = %+f є eps = %.1e є\n",a+h*4*i,y1[i],eps[i]);

printf ("ИНННННННННННННКННННННННННННННННННННННКНННННННННННННННННННј\n");

 

printf ("\n Результаты представлены с шагом 0.06\n");

printf ("\заданная точность достигнута при шаге, равном %g\n",EPS,h*4);

getch ();

return 0;

}

 

/******************************************************************************

Функция, вычисляющая корни дифференциального уравнения II порядка методом Рунге – Кутта после сведения его к задаче Коши.

******************************************************************************/

 

void runge_kutt (void)

{

int i;

double u[N], v[N], z[N], g[N], x, c;

double ku1,ku2,ku3,ku4,kz1,kz2,kz3,kz4;

double tv1,tv2,tv3,tv4,tg1,tg2,tg3,tg4;

z[0]=1;

u[0]=0;

v[0]=A;

g[0]=0;

for (i=0;i<=n;i++)

{

x=a+h*i;

ku1=z[i];

kz1=-p(x)*z[i]-q(x)*u[i];

tv1=g[i];

tg1=-p(x)*g[i]-q(x)*v[i]+r(x);

ku2=z[i]+h/2*kz1;

kz2=-p(x+h/2)*(z[i]+h/2*kz1)-q(x+h/2)*(u[i]+h/2*ku1);

tv2=g[i]+h/2*tg1;

tg2=-p(x+h/2)*(g[i]+h/2*tg1)-q(x+h/2)*(v[i]+h/2*tv1)+r(x+h/2);

ku3=z[i]+h/2*kz2;

kz3=-p(x+h/2)*(z[i]+h/2*kz2)-q(x+h/2)*(u[i]+h/2*ku2);

tv3=g[i]+h/2*tg2;

tg3=-p(x+h/2)*(g[i]+h/2*tg2)-q(x+h/2)*(v[i]+h/2*tv2)+r(x+h/2);

ku4=z[i]+h*kz3;

kz4=-p(x+h)*(z[i]+h*kz3)-q(x+h)*(u[i]+h*ku3);

tv4=g[i]+h*tg3;

tg4=-p(x+h)*(g[i]+h*tg3)-q(x+h)*(v[i]+h*tv3)+r(x+h);

u[i+1] = u[i] + (ku1+2*(ku2+ku3)+ku4)*h/6;

z[i+1] = z[i] + (kz1+2*(kz2+kz3)+kz4)*h/6;

v[i+1] = v[i] + (tv1+2*(tv2+tv3)+tv4)*h/6;

g[i+1] = g[i] + (tg1+2*(tg2+tg3)+tg4)*h/6;

}

c = (B-v[n])/u[n];

for (i=0;i<=n;i++) y[i] = u[i]*c + v[i];

}

 

2. Метод конечных разностей.

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

 

#define p(x) (-3*(x))

#define q(x) (-4)

#define r(x) (1)

 

#define l(x) ((q(x)*h*h-2)/ (1+p(x)*h/2))

#define m(x) ((1-p(x)*h/2)/ (1+p(x)*h/2))

#define f(x) (r(x)*h*h / (1+p(x)*h/2))

 

#define N 500

#define EPS 0.0001

 

int n;

double y[N];

double a=1, b=1.6, A=-3, B=-2;

double h=0.06, x;

void raznost (void);

main ()

{

int i, t;

double y1[N], eps[N], max_eps;

for (i=0;i<N;i++) y1[i]=0;

clrscr ();

do

{

for(i=0;i<=n;i++) y1[i]=y[i];

n=(b-a)/h+.5;

if (n>N)

{

printf ("\n Ошибка: выход за пределы массива ");

getch ();

return 0;

}

raznost();

max_eps=0;

for (i=0;i<=n/2;i++)

{

eps[i]=fabs(y[2*i]-y1[i]);

if (eps[i]>max_eps) max_eps=eps[i];

}

h/=2;

}

while (max_eps>EPS);

clrscr ();

printf (" Решение краевой задачи для дифференциального уравнения II порядка с точностью Е = %g методом конечных разностей \n\n",EPS);

 

printf ("ЙНННННННННННННЛННННННННННННННННННННННЛННННННННННННННННННН»\n");

 

for (i=0;i<=n/2;i+=(0.06/(h*4)+0.06))

printf ("є x = %.2f є y(x) = %+f є eps = %.1e є\n",a+h*4*i,y1[i],eps[i]);

 

printf ("ИНННННННННННННКННННННННННННННННННННННКНННННННННННННННННННј\n");

 

printf ("\n Результаты представлены с шагом 0.06");

printf ("\n ‡ ¤ ­­ п в®з­®бвм %g ¤®бвЁЈ­гв ЇаЁ и ЈҐ а ў­® %g\n",EPS,h*4);

getch ();

return 0;

}

 

/****************************************************************************

Функция, вычисляющая корни уравнения II порядка методом конечных разностей.

****************************************************************************/

 

void raznost (void)

{

int i;

double c[N], d[N];

y[0]=A;

y[n]=B;

c[0]=A;

d[0]=0;

for (i=1;i<=n;i++)

{

x = a + h*i;

c[i]=(f(x)-m(x)*c[i-1])/(l(x)-m(x)*d[i-1]);

d[i]=1/(l(x)-m(x)*d[i-1]);

}

for (i=n-1;i>=1;i--)

y[i]=c[i]-d[i]*y[i+1];

}

 

3. Метод Галеркина.

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

 

#define P(x) (-3*(x))

#define Q(x) (-4)

#define R(x) (1)

 

#define M 11

main()

{

double a=1,b=1.6,A=-3.3,B=-2,eps=0.0001;

double x,y[M][2],u,l,c[M],h,s1,s2,w,norm,n1[M],I[M][M],J[M];

int N=10,Q=10,i,p=0,j,v,s,n=2;

clrscr();

do

{

h=(b-a)/N;n1[0]=0;n1[10]=0;s1=0;s2=0;y[0][p]=A;norm=0;

for(v=1;v<=n;v++)

for(i=1;i<=n;i++)

{

for(j=1;j<N;j++)

{

x=j*h+a;

u=pow(x-a,i)*(x-b);

l=v*pow(x-a,v-2)*((v-1)*(x-b)+2*(x-a))+

P(x)*(v*pow(x-a,v-1)*(x-b)+pow(x-a,v))+

Q(x)* pow(x-a,v) *(x-b);

if(float(j)/2!=j/2) s1+=u*l;

else s2+=u*l;

}

I[i][v]=h/3*(4*s1+2*s2);

s1=0;s2=0;

}

for(i=1;i<=n;i++)

{

for(j=1;j<N;j++)

{

x=j*h+a;

u=pow(x-a,i)*(x-b);

l=P(x)*(B-A)/(b-a)+Q(x)*((A*b-B*a)/(b-a)+(B-A)/(b-a)*x);

if(float(j)/2!=j/2) s1+=u*(R(x)-l);

else s2+=u*(R(x)-l);

}

J[i]=h/3*(4*s1+2*s2);

s1=0;s2=0;

}

for (s=1;s<n;s++)

for (i=s+1;i<=n;i++)

{

w=I[i][s]/I[s][s];

J[i]-=J[s]*w;

for(j=s+1;j<=n;j++) I[i][j]-=I[s][j]*w;

}

c[n]=J[n]/I[n][n];

for(i=n-1;i>0;i--)

{

c[i]=J[i];

for(j=i+1;j<=n;j++) c[i]-=I[i][j]*c[j];

c[i]/=I[i][i];

}

for(j=1;j<=Q;j++)

{

x=j*(b-a)/Q+a;

y[j][p]=(A*b-B*a)/(b-a)+(B-A)/(b-a)*x;

for(i=1;i<=n;i++) y[j][p]=y[j][p]+c[i]*pow(x-a,i)*(x-b);

}

if(p==0) {p=1;n++;norm=eps+1;continue;}

else

{

for(i=1;i<Q;i++)

{

n1[i]=fabs(y[i][0]-y[i][1]);

if(n1[i]>norm) norm=n1[i];

}

for(i=0;i<=Q;i++) y[i][0]=y[i][1];

}

n++;

}

while (norm>eps);

printf ("\n Решение краевой задачи для дифференциального уравнения \n"

" II-го порядка с точностью Е = %g методом конечных разностей \n",eps);

printf ("\nˆҐп %d га ў­Ґ­Ёп\n",n-1);

printf ("ЙНННННННННННННЛННННННННННННННННННННННЛННННННННННННННННННН»\n");

 

for(i=0;i<=Q;i++)

printf ("є x = %.2f є y(x) = %+f є eps = %.1e є\n",i*(b-a)/Q+a,y[i][0],n1[i]);

printf ("ИНННННННННННННКННННННННННННННННННННННКНННННННННННННННННННј\n");

printf ("\n Результаты представлены с шагом 0.06\n");

getch();

return 0;

}

 

§ 7. Результаты.

1. Метод сведения к задаче Коши:

xi	y(xi)	Точность e
1.0	-3.3
1.06	-3.137851	3.4*10-7
1.12	-2.987541	7.5*10-7
1.18	-2.847435	1.2*10-6
1.24	-2.715942	1.7*10-6
1.30	-2.591442	2.3*10-6
1.36	-2.472192	2.8*10-6
1.42	-2.356203	3.1*10-6
1.48	-2.241065	3.1*10-6
1.54	-2.123701	2.3*10-6
1.60	-2.000000	8.9*10-16

2. Метод конечных разностей[2]:

xi	y(xi)	Точность e
1.0	-3.3
1.06	-3.137862	8.1*10-6
1.12	-2.987561	1.5*10-5
1.18	-2.847463	2*10-5
1.24	-2.715976	2.4*10-5
1.30	-2.591481	2.7*10-5
1.36	-2.472233	2.8*10-5
1.42	-2.356243	2.8*10-5
1.48	-2.241100	2.4*10-5
1.54	-2.123724	1.6*10-5
1.60	-2.00000

3. Метод Галеркина.

xi	y(xi)	Точность e
1.0	-3,3
1.06	-3,137861	4,6*10-5
1.12	-2,987542	2,3*10-5
1.18	-2,847440	2,6*10-5
1.24	-2,715952	2,3*10-5
1.30	-2,591448	5,6*10-5
1.36	-2,472192	3,4*10-5
1.42	-2,356205	1,7*10-5
1.48	-2,241072	2,9*10-5
1.54	-2,123696	2,4*10-5
1.60	-2,000

 

[1] Ссылки (1-2) на соответствующие формулы § 3.

[2] Заданная точность достигнута при шаге h = 0.0075.

СОВЕРШЕННО СЕКРЕТНО! ТОЛ ЬКО

для командования!»

■;