Лист ответов

1. Дать определение действительного числа. Объяснить, как устанавливается взаимно-однозначное соответствие между действительными числами и точками числовой оси.

2. Дать определение различных видов промежутков на оси (отрезок, интервал, полуинтервал и т.п.). Дать определения окрестностей точки на оси (e-окрестности, проколотой e-окрестности, полуокрестностей). Дать определение окрестностей +¥ и –¥.

3. Дать определения множества, ограниченного сверху (снизу), ограниченного множества. Доказать эквивалентность двух определений ограниченного множества.

4. Дать определения верхней и нижней граней множества. Привести примеры ограниченных сверху (снизу) множеств, содержащих и не содержащих свою верхнюю (нижнюю) грань.

5. Сформулировать теорему о существовании верхней (нижней) грани у множества.

6. Объяснить понятие отображения. Дать определение функции. Дать определение числовой последовательности, привести примеры.

7. Дать определения (в различных формах) пределов , , .

8. Доказать ограниченность последовательности, имеющей конечный предел. Показать на примерах, что обратное утверждение неверно.

9. Доказать теорему о единственности предела последовательности.

10. Сформулировать теоремы о пределах суммы, произведения и частного двух последовательностей.

11. Дать определение подпоследовательности. Доказать, что подпоследовательность последовательности, имеющей предел, имеет тот же предел.

12. Дать определения бесконечно большой и бесконечно малой последовательностей. Привести примеры.

13. Доказать теорему Вейерштрасса о существовании предела у неубывающей ограниченной сверху последовательности. Сформулировать варианты этой теоремы.

15. Сформулировать следующие определения пределов (при помощи неравенств и при помощи окрестностей).

 

I	II	III
IV	V	VI
VII	VIII	IX
X	XI	XII
XIII	XIV	XV

 

16. Дать определение бесконечно малой функции при . Доказать теорему: функция f (х) имеет предел b тогда и только тогда, когда величина f (х) – b – бесконечно малая.

17. Доказать теорему о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел.

18. Доказать теорему о пределе суммы двух функций при ..

19. Доказать теорему о пределе произведения двух функций при ..

20. Дать определение непрерывности функции в точке 1) при помощи понятия предела, 2) при помощи неравенств, 3) при помощи окрестностей, 4) при помощи приращений D х и D у.

 

Лист ответов