Действительные числа.

Незнамова Екатерина

Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин.

Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой.Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число.

Действительное (вещественное) число а записывается в виде бесконечной десятичной дроби

(1)

где α;₀— неотрицательное целое число, а каждое α;_n () — одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9.

Множество действительных чисел обозначается R.

Пример: 6, 74689; -4,8974

Бесконечная десятичная дробь называется периодической с периодом и записывается в виде:

(2)

если после некоторого десятичного разряда (его номер обозначен n) группа цифр все время повторяются.

Пример: 3, 678(586); 2,777(6)

Бесконечные десятичные периодические дроби (и только они) являются рациональными числами, т. е. записываются в виде . Рациональные числа обозначаются Q.

Переход от записи рационального числа а в виде (2) к записи вида производится по формуле

(3)

В числителе дроби (3) записана разность чисел, стоящих после запятой в равенстве (2) соответственно до второго и первого периода, а в знаменателе — число10^m+n-10ⁿ.

Примеры:

Записать в виде рациональной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь:

a)

Используя формулу (3), получим:

б)

Используя формулу (3), получим:

 

Бесконечная десятичная дробь называется допустимой, если она не содержит периода, состоящего только из цифры 9. Любое действительное число может быть записано в виде допустимой бесконечной десятичной дроби.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными, их множество обозначается через I. Пример иррационального числа:

Модуль

Число называется абсолютной величиной (модулем) числа и обозначается ׀ a ׀, т. е.

Таким образом,

Модуль – это расстояние от 0 до а

Свойства модуля:

1)

2)

3)

4)

Сравнение действительных чисел

1) Сравнение неотрицательных чисел. Два неотрицательных действительных числа а и b, записанных в виде допустимых бесконечных десятичных дробей

и (4)

равны (а =b) тогда и только тогда, когда

т.е.

Поэтому любое действительное число однозначным образом записывается в виде допустимой бесконечной десятичной дроби.

Если неотрицательные действительные числа а и b записаны в виде допустимых бесконечных десятичных дробей (4), то говорят, что число а меньше числа b и пишут а < b, если либо , либо и существует номер п такой, что для всех k = 0,1 ,…,n-1, но

2) Сравнение произвольных действительных чисел. Если а — неотрицательное число, а b — отрицательное число, то считают, что a<b (или а > b). Если оба числа отрицательные, то считают, что а = b, если ׀ a ׀ = ׀ b ׀, и a<b, если׀ b ׀ <;׀ a ׀.