Полярна система координат.

Крім афінної системи координат і її часткового випадку - прямокутної системи координат, часто розглядають і застосовують полярну систему координат на площині. Її використовують тому, що в науці і техніці зустрічаються криві, які простіше описати і побудувати саме в такій системі координат.

Візьмемо на орієнтованій площині точку О і одиничний вектор .

Означення 7. Геометричний образ, який складається з точки О і ве­ктора , називається полярною системою координат. Позначається полярна система координат так: О або (О, ).

Означення 8. Елементами полярної системи координат є точка О, яка називається полюсом, і промінь ОХ, який нази­вається полярною віссю, яка проходить через точку О і паралельна вектору , і на якій додатній напрямок визначається вектором (рис. 3).

Означення 9. Положення точки М на площині визначається від­станню від цієї точки до полюса – полярним радіусом і кутом між радіусом і полярною віссю – полярним кутом . Ці два числа і називаються полярними координатами точки М і записуються так: М (; ).

(рис. 3)

 

Дві координати (; ) визначають єдину точку. Значення, які приймають полярні координати: , при цьому кут відраховується від полярної осі проти руху годинникової стрілки. У деяких випадках необхідно розглядати кути, які більші ніж , а також від’ємні кути, тобто кути, які відраховуються від полярної осі за напрямком руху годинникової стрілки.

 

Зв’язок між полярними і прямокутними декартовими координатами точки на площині.

Якщо початок декартової прямокутної системи координат сумістити з полюсом, а вісь ОХ направити по полярній осі (рис. 4), то прямокутні координати х, у точки М та її полярні координати і зв’язані між собою наступними формулами:

 

(рис. 4)

По заданим х, у кут не визначається однозначно. Тому при визначенні варто врахувати, що при

Відстань між двома точками A (ρ₁;φ₁) і в B (ρ₂; φ₂) (рис. 5), заданими полярними координатами, обчислюється за формулою:

 

В (ρ₂; φ₂)

 

 

φ₂-φ₁ A (ρ₁; φ₁)

ρ₁

О

(рис. 5)

Площа трикутника ОАВ в полярній системі координат обчислюється за формулою:

 

Полярно-циліндрова система координат

При рішенні різних задач іноді доводиться розглядати в просторі і так звану полярно-циліндрову систему координат.
В полярно-циліндровій системі координат точка М задається трьома впорядкованими числами:
1) відстанню, яка називається полярним радіусом проекції

точки М;
2) мірою кута, яка називається полярно-циліндровим кутом;
З) аплікатою z.
Ця впорядкована трійка чисел називається полярно-циліндровими або просто циліндровими координатами точки.
Полярно-циліндрові координати r, , z змінюються в наступних межах:

 

Зв'язок між полярно-циліндровими і прямокутними координатами однієї і тієї ж точки простору:

x = r cos φ; y = r sin φ; z = z. (1)

(2)

Таким чином, якщо задані полярно-циліндрові координати r, , z точки, то її декартові координати визначаються з рівності (1); якщо ж задані декартові координати, то полярно-циліндрові визначаються з рівності (2).