Полярно-сферична система координат

В полярно-сферичній системі координат точка М задається трьома впорядкованими числами:

1) відстанню, яка називається полярно-сферичним радіусом

точки М;
2) мірою кута , яка називається першим полярно-сферичним кутом;
З) мірою кута , яка називається другим полярно-сферичним кутом.

Ця впорядкована трійка чисел називається полярно-сферичними або просто сферичними координатами точки.
Полярно-циліндрові координати r, , змінюються в наступних межах:

Зв'язок між полярно-сферичними і прямокутними координатами однієї і тієї ж точки простору:

x = r cosφ cos θ; y = r sin φ cos θ; z = r sin θ (1)

(2)

Таким чином, якщо задані полярно-сферичні координати r, , точки, то її декартові координати визначаються з рівності (1); якщо ж задані декартові координати, то полярно-сферичні визначаються з рівності (2).

Питання для самоперевірки.

1. Що називається афінною системою координат на площині? У чому відмінність афінної системи координат від прямокутної декартової?

2. Що називається радіусом-вектором точки? Чи зміняться радіус-вектори точок, якщо:

а) змінити напрямок координатних осей, залишивши початок без зміни;

б) змінити початок координат, залишивши напрямок осей без зміни?

3. Чи можуть дві різні точки в одній системі координат мати рівні радіус-вектори?

4. Що називається координатами точки в системі координат?

5. Якщо М ділить відрізок АВ у відношенні λ, то в якому відношенні ділить М відрізок ВА?

6. Як обчислюють координати точки М, яка ділить відрізок АВ?

7. Як обчислюється відстань між двома точками в прямокутній декартовій системі координат?

8. Як обчислюється площа трикутника в прямокутній декартовій системі координат?

9. Що називається полярною системою координат? Які вона має основні елементи? Як зміняться полярні координати точки М (ρ;; φ;), якщо залишити без зміни полюс О, полярну вісь Ох, але змінити на зворотній додатній напрямок обходу?

10. Який зв'язок між полярними і прямокутними декартовими координатами точки на площині? (формули).

11. Як обчислюється відстань між двома точками і площа трикутника в полярній системі координат?

12. Як розташовані точки на площині, полярні координати яких задовольняють одній з наступних умов: а) ρ; = 3; б) φ; = ?

Методичні вказівки до розв’язування задач.

1. На осях координат знайти точки, кожна з яких рівновіддалена від точок А (1;1) і В (3;7).

Розв’язання:

Нехай М₁ і М₂ – точки, які потрібно знайти, і точка М₁ лежить на осі Ох, тоді її координати (х;0); точка М₂ лежить на осі Оу, тоді її координати (0; у).

Так як точки М₁ і М₂ однаково віддалені від точок А і В, то

ρ; (М₁,А)= ρ; (М₁,В) і ρ; (М₂,А)= ρ; (М₂,В).

За формулою маємо:

Розв’язуючи отримані рівняння, знайдемо х =14 і у =

Тоді М₁ (14;0) і М₂ .

Відповідь: М₁ (14;0) і М₂ .

2. Визначити площу паралелограма, три вершини якого лежать в точках А (-2; 3), В (4; -5) і С (-3; 1).

Розв’язання:

Площа Ѕ паралелограма, яку потрібно знайти, дорівнює подвоєній площі трикутника АВС, тобто Ѕ = 2 Ѕ_ΔАВС.

Тоді, за формулою, Ѕ_ΔАВС = маємо:

Відповідь: Ѕ =20.

3. Три послідовні вершини паралелограма мають координати

А (3; -3), В (-1; 1) і С (1; 6). Знайти координати четвертої вершини D.

Розв’язання:

Знаючи те, що діагоналі паралелограма в точці Е перетину діляться навпіл, знайдемо цю точку як середину відрізка АС.

Якщо її координати позначити через х₁ і у₁, то за формулами

маємо:

А якщо через х₂ і у₂ – координати точки D, то за формулами маємо: ,

звідки х₂ = 5, у₂ = 2, D (5; 2).

Відповідь: D (5; 2).

4. Вершини трикутника знаходяться в точках А (3; -5), В (-3; 3) і

С (-1; -2). Знайти довжину бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.

Розв’язання:

Відомо, що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на частини, пропорційні довжинам прилеглих сторін.

Знайдемо довжини цих сторін:

Тоді якщо D (х; у) – точка перетину бісектриси і сторони ВС

(рис. 6), то вона ділить цю сторону у відношенні

Тепер знайдемо координати точки D:

Знайдемо довжину бісектриси:

Відповідь:

С (-1; -2)

D

А (3; -5) В (-3; 3)

рис. 6

5. В точках М₁ (х₁; у₁); М₂ (х₂; у₂) і М₃ (х₃; у₃) зосереджені маси m₁, m₂, m₃. Знайти центр ваги цієї системи.

Розв’язання:

Знайдемо спочатку центр ваги М' (х'; у') системи двох мас m₁ і m₂, зосереджених в точках М₁ і М₂.

З механіки відомо, що центр ваги цих мас ділить відрізок М₁М₂ на частини, обернено пропорційні масам, зосередженим на кінцях відрізка, тобто у відношенні λ'= .

За формулою знайдемо координати

точки М:

Якщо точка М (х; у) – центр ваги системи трьох мас m₁, m₂, m₃, то вона ділить відрізок М' М₃ на частини пропорційні масам, зосередженим в точках М' і М₃, тобто у відношенні λ= . Тоді

6. Знайти радіус вписаного в трикутник кола, якщо одна його вершина лежить в полюсі полярної системи координат, а інші в точках А (2; 0), В (4; )

Розв’язання:

З геометрії відомо, що , де Ѕ –площа трикутника, р – його півпериметр.

Площу трикутника обчислимо за формулою

Довжини двох сторін трикутника, а саме ОА і ОВ, відомі, вони рівні відповідно 2 і 4 (рис. 7).

Довжину сторони АВ знайдемо за формулою:

АВ =

Тоді

і

Відповідь:

В (4; )

О А(2;0) Р

рис. 7

7. В полярній системі координат дано точки А (3; ) і В (1; ). Полярна вісь повернена так, що у новому положенні вона проходить через точку А. Визначити координати точки В у новій системі координат.

Розв’язання:

Нова система координат отримана зі старої поворотом полярної осі на кут, величина якого дорівнює α= .

Тоді нові координати ρ' і θ' точки В будуть наступними:

ρ' =1, θ'=

Відповідь:

8. Знайти полярні координати точки А, якщо її координати х = -1,

у = (полярна вісь співпадає з додатною піввіссю Ох).

Розв’язання:

За відомими формулами маємо:

, θ=-

Так як точка А лежить в другій координатній чверті (х <0, у >0), то θ;= , А

Відповідь: А

9. Знаючи полярні координати точки А , знайти її прямокутні декартові координати, якщо полюс О' в декартовій системі координат має координати (2;3), а полярна вісь паралельна осі Ох і співпадає з нею на напрямком.

Розв’язання:

Введемо допоміжну прямокутну декартову систему координат О'Χ'Υ', початок О' і вісь О'Χ' співпадає з полярною віссю (рис. 8).

Тоді координати точки А в полярній системі і в системі О'Χ'Υ' зв’язані співвідношеннями х = ρ соs θ;, y = ρ sin θ;.

Звідки , а її координати в системах ОΧΥ; і О'Χ'Υ' зв’язані співвідношеннями х = х' + а, у = у' + b (перетворення прямокутних декартових координат при паралельному переносі осей).

Тоді остаточно маємо:

Відповідь:

у у'

А

3 О' х'

О 2 х

рис. 8

Завдання для самостійної роботи

Варіант 0

1. Вершини заданого трикутника АВС знаходяться в точках А (3; -5), В (-3; 3) і С (-1; -2). Знайти довжину бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.

Розв’язок:

Відомо, що бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні довжинам прилеглих сторін.

Тобто: .

Знайдемо довжини сторін АВ і АС:

Отже, точка D (х; у) ділить сторону ВС у відношенні:

Знайдемо координати точки D за формулами:

Тоді .

D

Тепер довжина бісектриси АD дорівнює:

.

Відповідь: AD = .

2. Знайти центр мас однорідного стержня з кінцями в точках А (5; -4) і В (7; 8).

Розв’язок:

Так як центр мас однорідного стержня розташовані в його середині, то потрібно знайти середину відрізка АВ.

х = = 6; у = = 2

Центр мас однорідного стержня АВ знаходиться в точці С (6; 2).

Відповідь: С (6; 2).

3. Визначити площу трикутника, три вершини якого мають координати А (-2; 3), В (4; -5) і С (-3; 1).

Розв’язок:

Площа Ѕ трикутника обчислюється за формулою

Тоді маємо:

Відповідь: Ѕ = 10.

4. В полярній системі координат дано точки А (3; ) і В (1; ). Полярна вісь повернена так, що у новому положенні вона проходить через точку А. Визначити координати точки В у новій системі координат.

Розв’язок:

Нова система координат отримана зі старої поворотом полярної осі на кут, величина якого дорівнює α= .

Тоді нові координати ρ' і θ' точки В будуть наступними:

ρ' = 1, θ' =

Відповідь:

5. Одна з вершин трикутника ОАВ знаходиться в полюсі О, дві інші

А і В . Визначити площу цього трикутника.

Розв’язок:

Площа трикутника в полярній системі координат обчислюється за формулою: Тоді маємо:

= 1.

Відповідь: S = 1.

Варіант 1

1. Знайти відношення, в якому площина ХОУ ділить відрізок АВ, якщо А (3; -6; -1) і В (9; 7; 5).

2. Вершини заданого трикутника АВС знаходяться в точках А (4; 1), В (7; 5) і С (-4; 7). Знайти довжину бісектриси його внутрішнього кута при вершині А.

3. Визначити площу трикутника, вершини якого мають координати А (4; 2), В (9; 4), С (7; 6).

4. Визначити полярні координати точок, симетричних відносно полярної вісі точкам М₁ , М₂ , М₃ , М₄ (1; 2),

М₅ (5; -1), які задані в полярній системі координат.

5. В полярній системі координат дано дві суміжні вершини квадрату М₁ і М₂ . Визначити його площу.

Варіант 2

1. Знайти координати точки, яка рівновіддалена від трьох даних точок (2; 2), (5; 1), (7; -3).

2. Задані координати кінців А (-1; 5), В (3; 4) однорідного стержня. Визначити координати його центру тяжіння.

3. Визначити площу п’ятикутника, вершинами якого є точки

А (-2; 0), В (0; -1), С (2; 0), D (3; 2), E (-1; 3).

4. Визначити полярні координати точок симетричних відносно полюса точкам М₁ , М₂ , М₃ , М₄ ,

М₅ (3; -2), які задані в полярній системі координат.

5. В полярній системі координат дано дві протилежні вершини квадрату P , Q . Визначити його площу.

Варіант 3

1. Знайти координати точки, яка рівновіддалена від трьох даних точок (5; 4), (3; 8), (-2; -7).

2. Дано координати точок Р (-1; 5), Q (3; 2). Знайти координати точки М, симетричній точці Р щодо точки Q.

3. Визначити площу трикутника АВС з вершинами А (2; 1), В (3; 4), С (1; 6).

4. В полярній системі координат дано дві вершини А ,

В паралелограму АВСD, точка перетину діагоналей якого співпадає з полюсом. Визначити дві інші вершини цього паралелограму.

5. В полярній системі координат дано дві вершини правильного трикутника А , В . Визначити його площу.

Варіант 4

1. Знайти координати точки, яка рівновіддалена від трьох даних точок (2; 3), (4; -1), (5; 2).

2. Дано координати точок Р (-1; 5), Q (3; 2). Знайти координати точки N, симетричній точці Q щодо точки Р.

3. Визначити площу трикутника АВС з вершинами А (-2; 4),

В (0; -3), С (1; 7).

4. В полярній системі координат дано точки А і В . Визначити полярні координати середини відрізка, який з’єднує точки А і В.

5. Одна з вершин трикутника ОАВ знаходиться в полюсі, дві інші

А і В . Визначити площу цього трикутника.

Варіант 5

1. Визначити радіус кола, яке проходить через точку (-2; 1) і має центр в точці (2; -3).

2. Дано дві суміжні вершини паралелограма А (-4; 4), В (2; 8) і точка перетину М (2; 2) його діагоналей. Визначити дві інші вершини C і D.

3. Визначити площу трикутника АВС з вершинами А (5; 4),

В (11; 0), С (0; 3).

4. В полярній системі координат дано точки А , В ,

С , D , E (3; 2), F (2; -1). Додатне положення полярної осі змінено на протилежне. Визначити полярні координати цих точок у новій системі.

5. Одна з вершин трикутника ОАВ знаходиться в полюсі О, дві інші А і В . Визначити площу цього трикутника.

Варіант 6

1. Дано координати вершин трикутника АВС: А (4; 1), В (7; 5),

С (-4; 7). Знайти довжину бісектриси AD кута А.

2. Дано чотирикутник А (-1; 7), В (5; 5), C (7; -5), D (3; -7). Довести, що відрізки, які сполучають середини сторін АD і ВС, АВ і СD, перетинаються і діляться точкою перетину навпіл.

3. Визначити відстань від точки (2; 0) до прямої, яка проходить через точки (1; 1) і (5; 4).

4. У полярній системі координат дано точки М₁ , М₂ , М₃ (2; 0), М₄ , М₅ , М₆ . Полярна вісь повернута так, що у новому положенні вона проходить через точку М₁. Визначити координати заданих точок у новій полярній системі.

5. Обчислити площу трикутника, вершини якого А ,

В , С задані в полярних координатах.

Варіант 7

1. Визначити довжину медіани АМ трикутника АВС, заданого координатами своїх вершин: А (5; -4), В (-1; 2), С (5; 1).

2. Показати, що чотирикутник, вершинами якого служать середини сторін даного чотирикутника, є паралелограм.

3. Визначити відстань від початку координат до прямої, яка проходить через точки (1; 5) і (5; 4).

4. В полярній системі координат дано точки М₁ ,

М₂ . Обчислити полярні координати середини відрізка, який з’єднує точки М₁ і М₂.

5. Полюс полярної системи координат співпадає з початком декартових прямокутних координат, а полярна вісь співпадає з додатною піввіссю абсцис. В полярній системі координат дано точки М₁ , М₂ (5; 0), М₃ , М₄ , М₅ , М₆ . Визначити декартові координати цих точок.

Варіант 8

1. Довести, що трикутник АВС з координатами А (1; 1), В (2; 5),

С (-6; 7) є прямокутним. Вказати вершину прямого кута.

2. Дано дві протилежні вершини квадрата А (-1; 4) і С (7; -2). Знайти дві інші вершини. Система координат прямокутна декартова.

3. Дві вершини трикутника знаходяться в точках (5; 1) і (-2; 2), третя вершина – на вісі Ох. Знаючи, що площа трикутника дорівнює 10, знайти третю вершину.

4. В полярній системі координат дано точки М₁ і М₂ . Обчислити відстань d між ними.

5. Полюс полярної системи координат співпадає з початком декартових прямокутних координат, а полярна вісь співпадає з додатною піввіссю абсцис. В декартовій прямокутній системі координат дано точки М₁ (0; 5), М₂ (-3; 0), М₃ , М₄ , М₅ . Визначити полярні координати цих точок.

Варіант 9

1. Знайти координати центра і радіуса кола, яке проходить через точку В (-10; 4) і дотикається до вісі Ох в точці А (-6; 0).

2. Визначати координати точок, що ділять відрізок А (2; 3), В (-1; 2) у відношенні , , , .

3. Площа трикутника S = 3, дві його вершини А (3; 1) і В (1; -3), центр ваги цього трикутника лежить на вісі Ох. Визначити координати третьої вершини С.

4. В полярній системі координат дано точки М₁ і М₂ . Обчислити відстань d між ними.

5. Нехай Оij – дана прямокутна декартова система, а Оі – полярна система, при цьому додатній напрямок обходу вибраний так, що . Визначити полярні координати наступних точок

М₁ (0; 6), М₂ (-2; 0), М₃ (-1; 1), М₄ , М₅ (0; -3), М₆ .

Варіант 10

1. Знайти координати центра і радіус кола, яке проходить через точку А (-8; 4) і дотикається вісей координат.

2. Дві вершини трикутника АВС мають координати А (3; 6),

В (-3; 5). Визначити координати вершини при умові, що середини сторін АС і ВС лежать на різних вісях координат.

3. Обчислити площу трикутника, вершини якого точки А (2; -3),

В (3; 2), С (-2; 5).

4. Дано правильний трикутник АВС, сторона якого дорівнює 5. Прийняв вершину А за полюс полярної системи координат, а направлену пряму АВ за полярну вісь, визначити полярні координат вершин і центр Р трикутника. Розглянути два можливих випадки розташування трикутника відносно полярної вісі.

5. Обчислити площа трикутника, одна з вершин якого знаходиться в полюсі, а дві інші мають полярні координати А₁ ,

А₂ .

Варіант 11

1. На вісях координат знайти точки, кожна з яких рівновіддалена від точок (1; 1) і (3; 7).

2. На прямій m узяті послідовно точки А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ так, що А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄ = А₄А₅ = А₅А₆. Знаючи координати точок

А₂ (2; 5) і А₅ (-1; 7) в загальній декартовій системі координат, визначити відношення, в яких точки А₁, А₃, А₄, та А₆ ділять відрізок А₂А₅, а також координати цих точок.

3. Обчислити площу трикутника, вершини якого точки А (-3; 2),

В (5; -2), С (1; 3).

4. Обчислити відстань між двома точками А і В .

5. Трикутник АВС заданий полярними координатами вершин А , В , С . Довести, що трикутник рівнобедрений.

Варіант 12

1. Вершини чотирикутника знаходяться в точках А (1; -3), В (8; 0), С (4; 8), D (-3; 5). Показати, що АВСD є паралелограм.

2. Знаючи координати вершин А (3; -1), В (6; 7), С (-9; 3) трикутника АВС, обчислити координати точки перетину його медіан.

3. Обчислити площу трикутника, вершини якого точки А (3; -4),

В (-2; 3), С (4; 5).

4. Дано квадрат ABCD, сторона якого дорівнює 3. Прийняв вершину А за полюс полярної системи координат, а направлену пряму АВ за полярну вісь, визначити координати його вершин і точки Р перетину діагоналей. Розглянути два можливих випадки розташування квадрата відносно полярної вісі.

5. Обчислити площу трикутника, одна з вершин якого знаходиться в полюсі, а дві інші мають полярні координати А₁ , А₂ .

Варіант 13

1. Вершини чотирикутника знаходяться в точках А (1; 1), В (2; 3),

С (5; 0), D (7; -5). Показати, що АВСD є трапеція.

2. Дано вершини А (2; -3; -5), В (-1; 3; 2) і точку Е (4; -1; 7) перетину діагоналей паралелограма АВСD. Знайти дві інші вершини цього паралелограма.

3. Дано вершини трикутника А (3; 6), В (-1; 3), С (2; -1). Обчислити довжину його висоти, яка проведена з вершини С.

4. Дано правильний шестикутник ABCDEF, сторона якого дорівнює а. Прийняв вершину А за полюс полярної системи координат, а направлену пряму АВ за полярну вісь, визначити координати всіх його вершин і точки Р перетину діагоналей. Розглянути два можливих випадки розташування шестикутника відносно полярної вісі.

5. Обчислити площу трикутника, одна з вершин якого знаходиться в полюсі, а дві інші мають полярні координати А₁ ,

А₂ .

Варіант 14

1. Дано три вершини паралелограма А (-1; 3), В (2; -5), С (0; 4). Визначити четверту вершину D, протилежну В.

2. Дано вершини М₁ (3; 2; -5), М₂ (1; -4; 3), М₃ (-3; 0; 1) трикутника. Знайти середини його сторін.

3. Дано три вершини паралелограма А (-2; 3), В (4; -5), С (-3; 1). Обчислити його площу.

4. Знайти полярні координати точок, які симетричні з точками

М₁ , М₂ , М₃ , М₄ відносно полюса.

5. Вершини трикутника знаходяться в точках А ,

В , С . Довести, що трикутник АВС прямокутний.

Варіант 15

1. Дано дві суміжні вершини квадрата А (-2; 1), В (3; 3). Знайти дві інші вершини.

2. Дано три вершини А (3; -4; 7), В (-5; 3; -2), С (1; 2; -3) паралелограма АВСD. Знайти його четверту протилежну В вершину D.

3. Дано три вершини паралелограма А (3; 7), В (2; -3), С (-1; 4). Обчислити довжину його висоти, яка опущеної з вершини В на сторону АС.

4. Знайти полярні координати точок, які симетричні з точками

М₁ , М₂ , М₃ , М₄ відносно полярної вісі.

5. Дано полярні координати вершин трикутника А ,

В , С . Довести, що трикутник АВС правильний.

Варіант 16

1. Дано дві вершини рівностороннього трикутника А (-3; 2),

В (1; 4). Знайти третю вершину С.

2. Дано три вершини А (3; -1; 2), В (1; 2; -4), С (-1; 1; 2) паралелограма. Знайти його четверту вершину D.

3. Дано послідовні вершини однорідної чотирикутної пластини

А (2; 1), В (5; 3), С (-1; 7), D (-7; 5). Визначити координати її центра ваги.

4. Знайти відстань між точками і .

5. Обчислити площу трикутника, одна з вершин якого знаходиться в полюсі, а дві інші мають полярні координати , .

Варіант 17

1. Центр О і вершина А правильного шестикутника АВСDЕF мають координати О (-1; 2), А (1; 4). Знайти координати інших вершин.

2. Дано вершини А (1; 2; -1), В (2; -1; 3), С (-4; 7; 5) трикутника. Обчислити довжину його бісектриси, проведеної з вершини В. Система координат прямокутна.

3. Дано послідовні вершини однорідної п’ятикутної пластини

А (2; 3), В (0; 6), С (-1; 5), D (0; 1), E (1; 1). Визначити координати її центра ваги.

4. Знайти відстань між точками і .

5. Нехай Оі – дана полярна система координат, Оij – прямокутна декартова система, при цьому вектор j отриманий з вектора і поворотом на +90⁰. Дано полярні координати точок А , В , С , D . Визначити прямокутні декартові координати.

Варіант 18

1. Вершини трикутника А (5; 0), В (0; 1), С (3; 3). Обчислити його внутрішні кути.

2. Визначити координати кінців відрізка прямої, який точками

С (2; 0; 2) і D (5; -2; 0) ділиться на три рівні частини.

3. Площа трикутника S = 3, дві його вершини точки А (3; 1),

В (1; -3), а третя вершина С лежить на вісі Оу. Обчислити координати вершини С.

4. Знайти відстань між точками і .

5. В полярній системі координат дано дві суміжні вершини квадрату М₁ і М₂ . Визначити його площу.

Варіант 19

1. Знайти відстань від початку координат до точок А (11; 4),

В (-3; 4).

2. Дано вершини А (1; -1; -3), В (2; 1; -2), С (-5; 2; -6) трикутника. Обчислити довжину бісектриси його внутрішнього кута, проведеної з вершини А.

3. Площа трикутника S = 4, дві його вершини точки А (2; 1),

В (3; -2), а третя вершина С лежить на вісі Ох. Обчислити координати вершини С.

4. Дано полярні координати точок А і В . Обчислити полярні координати середин відрізка, який з’єднує точки А і В.

5. Обчислити площа трикутника, одна з вершин якого знаходиться в полюсі, а дві інші мають полярні координати А₁ ,

А₂ .

Варіант 20

1. Знайти відстань від початку координат до точок А (-11; 0),

В (5; 12).

2. Дано вершини А (2; -1; 4), В (3; 2; -6), С (-5; 0; 2) трикутника. Обчислити довжину медіани, проведеної з вершини А. Система координат прямокутна.

3. Площа трикутника S = 3, дві його вершини точки А (3; 1),

В (1; -3). Центр ваги цього трикутника лежить на вісі Ох. Обчислити координати вершини С.

4. Відносно полярної системи координат дана точка А . Знайти точку В, яка симетрична точці А відносно полюса.

5. Одна з вершин трикутника ОАВ знаходиться в полюсі, дві інші

А і В . Визначити площу цього трикутника.

Варіант 21

1. На вісі Оу знайти точку, рівновіддалену від точки (-8; -4) і від початку координат.

2. Знаючи координати середин А₁, В₁, С₁ сторін трикутника, знайти координати його вершин, якщо: А₁ (1; 4), В₁ (-1; 0), С₁ (3; 2).

3. Площа паралелограма S = 12; дві його вершини точки А (-1; 3) і В (-2; 4). Знайти дві інші вершини цього паралелограму, при умові, що точка перетину його діагоналей лежить на вісі абсцис.

4. Відносно полярної системи координат дана точка А . Знайти точку С, яка симетрична точці А відносно полярної вісі.

5. В полярній системі координат дано дві протилежні вершини квадрату P , Q . Визначити його площу.

Варіант 22

1. Встановити, чи буде трикутник АВС: А (3; 1), В (7; 5), С (5; -1), гострокутним, прямокутним або тупокутним.

2. Знаючи координати середин А₁, В₁, С₁ сторін трикутника, знайти координати його вершин, якщо: А₁ (2; -3), В₁ (1; 6), С₁ (-1; 2).

3. Площа паралелограма S = 17 кв. од.; дві його вершини точки

А (2; 1) і В (5; -3). Знайти дві інші вершини цього паралелограму, при умові, що точка перетину його діагоналей лежить на вісі ординат.

4. Обчислити відстань між двома точками Е і F

5. Дано полярні координати вершин трикутника А ,

В , С . Довести, що трикутник АВС правильний.

Варіант 23

1. На вісях координат знайти точки, які віддалені від точки М (-5; 9) на відстані 15.

2. Знаючи координати середин А₁, В₁, С₁ сторін трикутника, знайти координати його вершин, якщо: А₁ (1; 2), В₁ (4; 1), С₁ (3; -1).

3. Обчислити площу неорієнтованого чотирикутника, вершини якого точки А (1; 3), В (-2; 0), С (4; 3), D (-3; 5).

4. Обчислити відстань між двома точками C і D .

5. Знаючи прямокутні координати точок А (-1; 1), В (0; 2), С (5; 0), знайти їх полярні координати.

Варіант 24

1. Дано коло з центром в точці С (6; 7) і радіусом r = 5. Із точки

А (7; 14) до цього кола проведені дотичні. Знайти їх довжини.

2. Знаючи координати середин А₁, В₁, С₁ сторін трикутника, знайти координати його вершин, якщо: А₁ (-3; 4), В₁ (2; 3), С₁ (-2; 0).

3. Дві вершини орієнтованого трикутника АВС знаходиться в точках А (1; 2) і В (5; -1), а третя вершина С на вісі Ох. Знайти координати вершини С, якщо площа трикутника S = 2.

4. В полярній системі координат дано точки А і В . Визначити полярні координати середини відрізка, який з’єднує точки А і В.

5. Знайти полярні координати точки М, знаючи її декартові координати х = 8, у = -6.

Варіант 25

1. Із точки С (-4; -6), як із центра радіусом r = 10 описане коло. Знайти точки його перетину з бісектрисами координатних кутів.

2. Знаючи координати середин А₁, В₁, С₁ сторін трикутника, знайти координати його вершин, якщо: А₁ (-2; 0), В₁ (5; 1), С₁ (1; -2).

3. Знайти відстань d від точки А (6; -8) до прямої, яка проходить через точки В (-5; 0) і С (3; 6).

4. Відносно полярної системи координат дано точки А ,

В , С , D , Е (5; 0). Які координати будуть мати ці точки, якщо повернути полярну вісь біля полюса в додатному напрямку на кут .

5. Знайти прямокутні координати точок, які задані своїми полярними координатами А , В , С , D , при чому вісь абсцис співпадає з полярною віссю, а початок координат з полюсом.

Відповіді

Варіант 1

1.

2.

3. 7

4. , , , (1; -2), (5; 1)

5.

Варіант 2

1. (2; -3)

2.

3. 12,5

4. , , , ,

5.

Варіант 3

1. (-4; 2)

2. М (7; -1)

3. 4

4. C , D

5.

Варіант 4

1. (3; 1)

2. N (-5; 8)
3.

4.

5.

Варіант 5

1.

2. C (8, 0), D (2, -4)

3. 13

4. A , B , C , D , E , F

5. 5

Варіант 6

1. AD =