Теорема об изменении энергии

Умножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно уравнение, описывающие изменение плотности энергии проводящей среды в магнитном поле:

.

Левая часть этого уравнения преобразуется к виду:

.

Для преобразования последнего слагаемого воспользуемся уравнением непрерывности:

.

В итоге левая часть уравнения принимает вид:

(а)

Для вычисления мощности поверхностных сил давления в среде воспользуемся первым началом термодинамики

,

которое с учетом уравнения непрерывности можно записать в виде:

.

Из этого выражения с учетом уравнения непрерывности получаем

.

Отсюда для адиабатических процессов мощность сил определяется выражением

. (б)

Выражение для мощности силы Ампера также удобно преобразовать, учитывая свойства смешанного произведения векторов:

В рассматриваемом квазистатическом случае для вещества высокой проводимости , так что

.

Учитывая тождество и уравнение Максвелла ,

выражение для мощности силы Ампера можно представить в виде:

. (в)

Равенства (а), (б) и (в) приводят к уравнению

,

которое можно рассматривать, как уравнение для изменения плотности энергии вещества и поля:

Здесь - плотность энтальпии, а - плотность потока энергии поля.