Оценка погрешности косвенных измерений

Результат косвенных измерений вычисляется по расчетной формуле, куда обычно входят как табличные величины, так и величины, полученные при прямых измерениях. Каждая из них имеет свою погрешность, а задача состоит в том, чтобы учесть их влияние на погрешность конечного результата.

Существуют математические приемы, с помощью которых из расчетной формулы выводится функция для вычисления погрешности косвенных измерений. Эти приемы различны в зависимости от вида расчетной формулы, которая может содержать либо только сомножители, либо еще и слагаемые. Чтобы эти действия были более наглядны, возьмем в качестве примера формулу для определения ускорения, а при равноускоренном движении без начальной скорости, которая содержит только сомножители,

, (1.11)

где S – путь, t – соответствующее время.

1. Логарифмируем расчетную формулу:

.

2. Берем дифференциал от левой и правой части. Напомним, что дифференциал какой-либо величины y – это ее изменение dy при бесконечно малом изменении аргумента dx, а производная некоторой функции – это отношение дифференциалов функции и аргумента, т.е. . Отсюда следует, что дифференциал функции равен . Кроме того, производная от функции равна , а дифференциал суммы равен сумме дифференциалов. В результате дифференцирования получаем:

. (1.12)

3. Заменяем дифференциалы величин на соответствующие абсолютные погрешности, а также все знаки «минус» меняем на знак «плюс», т.е. относительные погрешности только складываются:

. (1.13)

Обычно путь S является однократным измерением (задается самим экспериментатором), а соответствующее время t измеряется несколько раз. Погрешность Δ t вычисляется по формуле (1.10), а в знаменатель (1.13) подставляется среднее время á t ñ. Получим среднее значение ускорения á a ñ, подставив в формулу (1.11) среднее время á t ñ и соответствующий ему путь S. Максимальная абсолютная погрешность ускорения определяется из (1.13):

. (1.14)

Формула (1.14) указывает на оптимальную методику проведения измерений, т.е. на достижение максимальной точности определения ускорения. Для этого время надо измерять точнее, чем путь, так как отно-сительная погрешность времени входит в формулу (1.14) с коэффициентом2.

Если расчетная формула содержит как сомножители, так и слагаемые, то вычисляется сначала максимальная абсолютная погрешность косвенного измерения. Используем в качестве примера формулу для измерения потенциальной энергии шарика массой m, падающего с высоты Н₁ до отметки Н₂:

W = mg (H₁ – H₂), (1.15)

где g – ускорение свободного падения.

Для получения формулы вычисления ошибки измерений проделаем следующие операции:

1. Возьмем дифференциал от расчетной формулы:

dW = g (H₁ – H₂) dm + m (H₁ – H₂) dg + mg (dH₁ – dH₂). (1.16)

2. Заменим дифференциалы на соответствующие абсолютные погрешности, а также знаки «минус» между дифференциалами на знаки «плюс». Получаем:

Δ W = g (H₁ – H₂) Δ m + m (H₁ – H₂) Δ g + mg ( Δ H₁ + Δ H₂). (1.17)

3. Делим левую и правую части на расчетную формулу. Поделим выражение (1.17) на (1.15), получим относительную погрешность измерения:

. (1.18)

Из формулы (1.15) следует, что с максимальной точностью следует измерять высоты Н₁ и Н₂, так как относительная погрешность есть результат деления на малую величину разности (Н₁ – Н₂). В этой формуле величины m, Н₁, Н₂ являются результатами однократных измерений, а ускорение свободного падения g – табличной величиной.