Оценка величины случайной погрешности

Случайные погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно, проявляются в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, могут отклонять результаты измерения от истинного значения в обе стороны. При обработке результатов эксперимента возникают два вопроса: 1) как найти из полученных значений наиболее вероятное значение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая погрешность измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения Гаусса.

Смысл закона Гаусса заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой есть х_о. Проведя несколько раз измерения, вместо х_о получаем набор значений х₁, х₂,… х_i,… x_n. Оказывается, что с помощью закона распределения мы хотя и не можем указать точное значение х_о, но можем найти, с какой вероятностью Р величина х_о окажется в любом интервале значений а<x_o<b. Область значений а<x_o<b называют доверительным интервалом. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

(1.4)

и равна

. (1.5)

Функция плотности распределения f(x) характеризует число случаев, когда измеряемая величина попала в интервал от x до x+dx (dx – малое изменение измеряемой величины). x – набор значений, которые мы получаем в результате измерения, á x ñ – их среднее арифметическое, а среднее квадратичное отклонение

, (1.6)

. (1.7)

Рис. 1.1

 

Как видно из рис.1.1, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины á x ñ и шириной 2σ; – расстоянием между точками перегиба. Значение á x ñ обычно принимают за ту величину, которую надо было измерить, а σ; характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ;, тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение. Площадь под кривой от а до b определяет долю случаев, в которых измеряемая величина лежит в этом интервале (т.е. вероятность того, что измеряемая величина попала в интервал от а до b).

Следует подчеркнуть, что á x ñ – не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения в этот интервал. Так, например, вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой á x ñ не более чем на σ; равна 0,683, а не более чем на 2σ; – 0,955.

Бесконечное увеличение числа измерений не дает заметного увеличения точности. Зависимость надежности (вероятности) от числа измерений сложна и не выражается в элементарных функциях. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал S _{á x ñ}, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую вероятность (надежность) Р.

Стандартный доверительный интервал, или среднеквадратичная погрешность среднего, согласно выводам математической статистики убывает пропорционально и определяется формулой

. (1.8)

Таблица 1.1

Таблица коэффициентов Стьюдента t (P,n)

N	P
0,5	0,7	0,9	0,95	0,999
	0,82	1,3	2,9	4,3	31,6
	0,74	1,2	2,1	2,8	8,6
	0,72	1,1	1,9	2,4	6,0
	0,70	1,1	1,8	2,3	4,8
	0,69	1,1	1,7	2,1	3,9
	0,67	1,0	1,6	2,0	3,3

 

Чтобы найти величину случайной погрешности, необходимо стандартный доверительный интервал умножить на коэффициент Стьюдента:

Δ х_сл.= t (P,n) ^. S _{á x ñ}. (1.9)