Уравнение теплопроводности в стержне

Рассмотрим тонкий изолированный стержень, лежащий на отрезке оси . Предположим, что его физические свойства в точках любого сечения одинаковы. Тогда температура тела есть функция от абсциссы сечения и времени :

, ,

Можно показать, что функция удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных

, где (1)

Найдем решение уравнения (1), удовлетворяющее

а) начальному условию

, (2)

где – заданная на отрезке непрерывная функция,

б) граничным условиям

(3)

То есть предполагается, что в начальный момент времени температура в стержне выражается функцией , а на протяжении всего времени опыта на концах искусственно поддерживается нулевая температура.

Будем решать задачу (1)-(3) методом Фурье, т.е. найдем нетривиальные решения в виде

(4)

Подставляя функцию (4) в уравнение (1), получим

или

.

Левая часть этого равенства зависит только от , правая – только от , поэтому

, где .

Таким образом, функции и удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям

(5)

(6)

Вследствие граничных условий (3) получим

,

.

Отсюда

(7)

Мы пришли к задаче: найти такие числа , для которых дифференциальное уравнение (5) имеет нетривиальное решение на отрезке , удовлетворяющее граничным условиям (7).

Эта задача называется проблемой Штурма–Лиувилля.

Числа называются собственными значениями задачи, а соответствующие нетривиальные функции, удовлетворяющие условиям (7) – собственными функциями, удовлетворяющими этим условиям.

Пусть , тогда общее решение уравнения (5) запишется так:

.

Используя условие (7), найдем коэффициенты и ,:

Так как , то

.

Каждому собственному значению соответствуют собственные функции задачи Штурма–Лиувилля:

.

Решим уравнение (6) при найденных

,

,

,

где – произвольная постоянная.

Итак, – частные решения уравнения (1), удовлетворяющие условию (3).

Тогда и сумма ряда

при достаточно малых будет удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям (3).

Найдем коэффициенты , пользуясь начальным условием:

(8)

Формула (8) представляет собой разложение в ряд Фурье функции , поэтому коэффициенты вычисляются по формуле

.

Таким образом, решение задачи (1)–(3) имеет вид:

, где