Вывод уравнения колебаний струны

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Струной называется тонкая нить, работающая на растяжение, но не на изгиб. Это значит, если мысленно разрезать струну в точке , то действие одного участка струны на другой (сила ) будет направлена по касательной к струне в точке .

Пусть концы натянутой струны закреплены в точках и . Плотность струны будем считать равной на всем ее протяжении.

В момент времени выведем струну из положения равновесия. Струна начнет совершать колебания. Через время точка займет положение .

Будем рассматривать малые, плоские, поперечные колебания струны около положения равновесия, совпадающего с осью . Обозначим через величину отклонения струны от положения равновесия в точке в момент времени , так что есть уравнение струны в момент времени .

Выделим отрезок и рассмотрим участок струны, соответствующий этому отрезку. На концах этого участка и действуют силы натяжения и , направленные по касательной к кривой в соответствующих точках и равные по абсолютной величине:

.

Пусть – угол между касательной к струне и положительным направлением оси в точке , тогда

.

Так как колебания малые, то , тогда проекция силы на ось равна

.

Проекция силы на ось равна

.

Сумма этих проекций на ось равна

.

По теореме Лагранжа (о конечном приращении) получим

, где .

С другой стороны, по закону Ньютона, сила, действующая на рассматриваемый элемент струны, равна

, где , , .

отсюда

.

Тогда

.

Сокращая на и устремив , т.е. и , получим

, где

или

, (1)

Уравнение (1) называется уравнением свободных колебаний однородной струны.

Это уравнений имеет бесконечное множество решений, поэтому только одного уравнения (1) недостаточно для полного описания движения струны. Нужны дополнительные условия, вытекающие из физического смысла задачи.

Из физики известно, что для определения движения необходимо знать начальное положение и начальную скорость:

(2)

Условия (2) – начальные условия или условия Коши.

Кроме того, нужно указать, что происходит на концах струны. Для закрепленной струны имеем граничные или краевые условия:

(3)

Итак, физическая задача об определении движения струны, закрепленной на концах, свелась к математической задаче:

Найти такое решение уравнения (1), которое удовлетворяет начальным условиям (2) и граничным условиям (3).

Эта задача называется смешанной или начальной краевой задачей для гиперболических уравнений.