Матрица, размерность матрицы, единичная матрица. Нехай дана система лінійних однорідних рівнянь

Нехай дана система лінійних однорідних рівнянь

 

 

Очевидно, що однорідна система завжди сумісна (), вона має нульовий (тривіальний) розв'язок .

При яких умовах однорідна система має і ненульові розв'язки?

 

Теорема.1.4.4. Для того, щоб система однорідних рівнянь мала ненульові розв'язки, необхідно і достатньо, щоб ранг її основної матриці був меншим числа невідомих, тобто .

 

□ Необхідність

Оскільки не може перевищувати розмір матриці, то, очевидно, . Нехай , тоді один з мінорів розміру відмінний від нуля. Тому відповідна система лінійних рівнянь має єдиний розв'язок: . Тобто, інших, крім тривіальних, розв’язків немає. Отож, якщо є нетривіальні розв'язки, то .

 

Достатність.

Нехай . Тоді однорідна система, що є сумісною, являється невизначеною. Значить, вона має нескінченну множину розв’язків, тобто має і ненульові розв'язки.

Нехай дана однорідна система з невідомими:

 

■

 

Теорема.1.4.5 Для того, щоб однорідна система лінійних рівнянь з невідомими мала ненульові розв'язки, необхідно і достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю: .

□ Якщо система має ненульові розв'язки, то . Бо при система має тільки єдиний, ненульовий розв'язок. Якщо ж , то ранг основної матриці системи менше числа невідомих, тобто . І, значить, система має нескінченну множину (ненульових розв’язків). ■

 

Приклад 1.4.6. Розв’язати систему:

○ , . Оскільки , то система має нескінченну множину розв’язків. Знайдемо їх

 

 

Тобто, - загальний розв'язок.

Поклавши , отримаємо один частинний розв'язок . Поклавши , отримаємо другий частинний розв'язок і т.д. ●

 

Матрица, размерность матрицы, единичная матрица.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы

Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой каждый элемент на главной диагонали равен единице.